Successions acotades (o fitades)

a) La successió no és constant ja que $a_1=-8$ i $a_2=-\dfrac{16}{3}$.

Per comprovar si la solució és creixent o decreixent és suficient comprovar si $a_n\leq a_{n+1}$ o $a_n\geq a_{n+1}$, respectivament.

Vegem si és creixent. Volem comprovar si $\dfrac{8n}{1-2n}\leq\dfrac{8(n+1)}{1-(2n+1)}$

Simplificant el factor $8$ i multiplicant pels denominadors obtenim, observant que els denominadors són sempre negatius, $$n(1-2(n+1))\leq (n+1)(1-2n)$$ Expandint els productes tenim $$-n-2n^2\leq +1-2n^2-n$$

I restant el terme $-n-2n^2$ obtenim $0\leq1$ que és sempre cert independentment de $n$. Per tant la successió és creixent.

Per veure si la successió és estrictament creixent hem de comprovar si $a_n < a_{n+1}$.

Podem comprovar utilitzant els càlculs anteriors que la solució és estrictament creixent ja que els càlculs realitzats són certs si substituïm la desigualtat $\leq$ per la desigualtat estricta $ < $.

Comprovem si la successió admet alguna cota. Com que la successió és creixent està fitada inferiorment per $a_1=-8$.

Per veure si la successió està fitada superiorment podem adonar-nos que $\dfrac{8n}{1-2n} < 0$ ja que el numerador és positiu i el denominador és negatiu.

Per tant la successió està fitada superiorment per $0$.

b) La successió no és constant ja que $b_1=1$ i $b_2=\dfrac{4}{5}$.

Veient els dos primers termes la successió, no pot ser creixent. Vegem si la successió és estrictament decreixent. Comprovem si $$\dfrac{2n}{1+n^2} > \dfrac{2(n+1)}{1+(n+1)^2}$$ Multiplicant pels denominadors: $$2n(1+(n+1)^2) > (1+n^2)2(n+1)$$ Expandint obtenim $$4n+4n^2+2n^3 > 2+2n+2n^2+2n^3$$ Simplificant obtenim $$n^2+n-1 > 0$$ Calculant les dues arrels del polinomi anterior veiem que són les dues menors a $1$. Per tant per a $n$ enter major a $1$ es compleix $n^2+n-1 > 0$ i la successió és estrictament decreixent.

Com ja hem vist abans, en aquest cas la successió està fitada superiorment per $b_1=1$.

A més com tots els termes de la successió són positius obtenim que la successió està fitada inferiorment per $0$.

c) La successió no és constant ja que $c_1=-\dfrac{3}{2}$ i $c_2=-2$.

Veient els dos primers termes només pot donar-se que la successió sigui estrictament decreixent. Comprovem si $$\dfrac{n^2+2}{-n-1} > \dfrac{(n+1)^2+2}{-(n+1)-1}$$ Multiplicant pels denominadors obtenim $$(-n-2)(n^2+2) > (n^2+2n+3)(-n-1)$$ Multiplicant per $-1$, i per tant invertint la desigualtat i expandint obtenim: $$n^3+2n^2+2n+4 < n^3+3n^2+5n+3$$ Restant obtenim la desigualtat $$n^2+3n-1 > 0$$

Calculant les arrels veiem que les dues són menors a $1$ i per tant la desigualtat és certa per a tot $n$ enter.

Per tant la successió és estrictament decreixent.

En conseqüència, la successió tractada està fitada superiorment per $c_1=-\dfrac{3}{2}$.

La successió no té fita inferior ja que el terme general de la successió es fa tan gran, amb signe negatiu, com es vulgui.