Sucesiones acotadas

a) La sucesión no es constante ya que $a_1=-8$ y $a_2=-\dfrac{16}{3}$.

Para comprobar si la solución es creciente o decreciente es suficiente comprobar si $a_n\leq a_{n+1}$ o $a_n\geq a_{n+1}$, respectivamente.

Veamos si es creciente.

Queremos comprobar si $\dfrac{8n}{1-2n}\leq\dfrac{8(n+1)}{1-(2n+1)}$

Simplificando el factor $8$ y multiplicando por los denominadores obtenemos, observando que los denominadores son siempre negativos, $$n(1-2(n+1))\leq (n+1)(1-2n)$$ Expandiendo los productos tenemos $$-n-2n^2\leq +1-2n^2-n$$

Y restando el término $-n-2n^2$ obtenemos $0\leq1$ que es siempre cierto independientemente de $n$.

Por tanto la sucesión es creciente.

Para ver si la sucesión es estrictamente creciente debemos comprobar si $a_n < a_{n+1}$.

Podemos comprobar utilizando los cálculos anteriores que la solución es estrictamente creciente ya que los cálculos realizados son ciertos si substituimos la desigualdad $\leq$ por la desigualdad estricta $ < $.

Comprobamos si la sucesión admite alguna cota. Como la sucesión es creciente está acotada inferiormente por $a_1=-8$.

Para ver si la sucesión está acotada superiormente podemos darnos cuenta que $\dfrac{8n}{1-2n} < 0$ ya que el numerador es positivo y el denominador es negativo.

Por tanto la sucesión está acotada superiormente por $0$.

b) La sucesión no es constante ya que $b_1=1$ y $b_2=\dfrac{4}{5}$.

Viendo los dos primeros términos la sucesión, no puede ser creciente. Veamos si la sucesión es estrictamente decreciente. Comprobamos si $$\dfrac{2n}{1+n^2} > \dfrac{2(n+1)}{1+(n+1)^2}$$ Multiplicando por los denominadores $$2n(1+(n+1)^2) > (1+n^2)2(n+1)$$ Expandiendo obtenemos $$4n+4n^2+2n^3 > 2+2n+2n^2+2n^3$$ Simplificando obtenemos $$n^2+n-1 > 0$$ Calculando las dos raíces del polinomio anterior vemos que son ambas menores a $1$. Por tanto para $n$ entero mayor a $1$ se cumple $n^2+n-1 > 0$ y la sucesión es estrictamente decreciente.

Como ya hemos visto antes, en este caso la sucesión está acotada superiormente por $b_1=1$.

Además como todos los términos de la sucesión son positivos obtenemos que la sucesión está acotada inferiormente por $0$.

c) La sucesión no es constante ya que $c_1=-\dfrac{3}{2}$ y $c_2=-2$.

Viendo los dos primeros términos solo puede darse que la sucesión sea estrictamente decreciente. Comprobamos si $$\dfrac{n^2+2}{-n-1} > \dfrac{(n+1)^2+2}{-(n+1)-1}$$ Multiplicando por los denominadores obtenemos $$(-n-2)(n^2+2) > (n^2+2n+3)(-n-1)$$ Multiplicando por $-1$, y por tanto invirtiendo la desigualdad y expandiendo obtenemos; $$n^3+2n^2+2n+4 < n^3+3n^2+5n+3$$ Restando obtenemos la desigualdad $$n^2+3n-1 > 0$$

Calculando las raíces vemos que las dos son menores a $1$ y por tanto la desigualdad es cierta para todo $n$ entero.

Por tanto la sucesión es estrictamente decreciente.

En consecuencia, la sucesión tratada está acotada superiormente por $c_1=-\dfrac{3}{2}$.

La sucesión no tiene cota inferior ya que el termino general de la sucesión se hace tan grande, con signo negativo, como se quiera.