- Inicio
- Successions
- Límit d'una successió
- Ejercicios
Límit d'una successió
Calcula el límit d'aquestes successions
a) $a_n=\dfrac{1-3n}{n^2+2}$
b) $a_n=\dfrac{4n^2+5n+6}{6n+8}$
c) $a_n=\dfrac{7n^3-11}{-2n^3-76}$
d) $a_n=\dfrac{5^n}{(-3)^n}$
a) Com que el grau del polinomi del numerador és menor que el del denominador el límit és $0$.
b) El grau del polinomi del numerador és més gran que el del denominador i en aquest cas la successió tendeix a infinit. Per calcular el signe mirem el signe del quocient dels coeficients de grau més gran dels dos polinomis. Aquest quocient correspon a $\dfrac{4}{6}$ que és positiu. Per tant el límit de la successió és $+\infty$.
c) Com que els graus del polinomi del numerador i el del denominador són iguals, el límit correspon al quocient dels coeficients de grau més gran dels dos polinomis. En aquest cas el coeficient de grau major del numerador és $7$ i el del denominador és $-2$. Així el límit de la successió és $-\dfrac{7}{2}$.
d) La successió correspon a la successió $a_n=b^n$ amb $b=-\dfrac{5}{3}$. Com $-\dfrac{5}{3} \leq -1$ la successió no té límit.
a) El límit de la successió és $0$.
b) La successió tendeix a $+\infty$.
c) El límit de la successió és $-\dfrac{7}{2}$.
d) La successió no té límit.
Comprova utilitzant la definició formal que la successió $a_n=\dfrac{1}{n^k}$ té límit $0$ per a tot $k > 0$.
Seguint la notació introduïda, fixat un m natural volem trobar un $N$ natural de manera que es compleixi $\Big|\dfrac{1}{n^k}-0 \Big| < \dfrac{1}{m}$ per a tot $n > N$.
Equivalentment $m < n^k$ i per tant cal $m^{1/k} < n$.
En aquest últim pas és on fem servir $k > 0$ ja que en un altre cas hauríem de girar el signe de la desigualtat. Per tant, com elecció de $N$ podem triar qualsevol $N > m^{1/k}$.
Seguint la notació presentada, fixat un $m$ enter hem d'escollir $N$ com un enter que compleixi $N > m^{1/k}$.