- Inicio
- Sucesiones
- Límite de una sucesión
- Ejercicios
Límite de una sucesión
Calcula el límite de estas sucesiones:
a) $a_n=\dfrac{1-3n}{n^2+2}$
b) $a_n=\dfrac{4n^2+5n+6}{6n+8}$
c) $a_n=\dfrac{7n^3-11}{-2n^3-76}$
d) $a_n=\dfrac{5^n}{(-3)^n}$
a) Como el grado del polinomio del numerador es menor que el del denominador el límite es $0$.
b) El grado del polinomio del numerador es mayor que el del denominador y en este caso la sucesión tiende a infinito. Para calcular el signo miramos el signo del cociente de los coeficientes de grado mayor de los dos polinomios. Este cociente corresponde a $\dfrac{4}{6}$ que es positivo. Por tanto el límite de la sucesión es $+\infty$.
c) Como los grados del polinomio del numerador y el del denominador son iguales, el límite corresponde al cociente de los coeficientes de grado mayor de los dos polinomios. En este caso el coeficiente de grado mayor del numerador es $7$ y el del denominador es $-2$. Así el límite de la sucesión es $-\dfrac{7}{2}$.
d) La sucesión corresponde a la sucesión $a_n=b^n$ con $b=-\dfrac{5}{3}$. Como $-\dfrac{5}{3} \leq -1$ la sucesión no tiene límite.
a) El límite de la sucesión es $0$.
b) La sucesión tiende a $+\infty$.
c) El límite de la sucesión es $-\dfrac{7}{2}$.
d) La sucesión no tiene límite.
Comprueba utilizando la definición formal que la sucesión $a_n=\dfrac{1}{n^k}$ tiene límite $0$ para todo $k > 0$.
Siguiendo la notación introducida, fijado un $m$ natural queremos encontrar un $N$ natural de manera que se cumpla $\Big|\dfrac{1}{n^k}-0 \Big| < \dfrac{1}{m}$ para todo $n > N$.
Equivalentemente $m < n^k$ y por tanto hace falta $m^{1/k} < n$.
En este último paso es donde utilizamos $k > 0$ ya que en otro caso deberíamos girar el signo de la desigualdad.
Por tanto, como elección de $N$ podemos elegir cualquier $N > m^{1/k}$.
Siguiendo la notación presentada, fijado un $m$ entero debemos escoger $N$ como un entero que cumpla $N > m^{1/k}$.