Definició i terme general d'una successió
Dóna els cinc primers termes de les successions amb terme general:
a) $a_n=(-1)^n(n+2)$
b) $b_n=\dfrac{(n+1)(n-1)}{2n^2}$
c) $c_n=3n^2-12$
d) $d_0=0$, $d_1=1$ i $d_{n+1}=d_n+d_{n-1}$ (La successió de Fibonacci).
a) $$a_1=(-1)^1(1+2)=-1\cdot3=-3$$ $$a_2=(-1)^2(2+2)=+1\cdot4=4$$ $$a_3=(-1)^3(3+2)=-1\cdot5=-5$$ $$a_4=(-1)^4(4+2)=+1\cdot6=6$$ $$a_5=(-1)^5(5+2)=-1\cdot7=-7$$
b) $$b_1=\dfrac{(1+1)(1-1)}{2\cdot1^2}=\dfrac{1\cdot0}{2}=0$$ $$b_2=\dfrac{(2+1)(2-1)}{2\cdot2^2}=\dfrac{3\cdot1}{8}=\dfrac{3}{8}$$ $$b_3=\dfrac{(3+1)(3-1)}{2\cdot3^2}=\dfrac{4\cdot2}{18}=\dfrac{4}{9}$$ $$b_4=\dfrac{(4+1)(4-1)}{2\cdot4^2}=\dfrac{5\cdot3}{32}=\dfrac{15}{32}$$ $$b_5=\dfrac{(5+1)(5-1)}{2\cdot5^2}=\dfrac{6\cdot4}{50}=\dfrac{12}{25}$$
c) $$c_1=3\cdot1^2-12=3-12=-9$$ $$c_2=3\cdot2^2-12=12-12=0$$ $$c_3=3\cdot3^2-12=27-12=15$$ $$c_4=3\cdot4^2-12=48-12=36$$ $$c_5=3\cdot5^2-12=75-12=63$$
d) $$d_0=0$$ $$d_1=1$$ $$d_2=d_1+d_0=1+1=2$$ $$d_3=d_2+d_1=2+1=3$$ $$d_4=d_3+d_2=3+2=5$$ $$d_5=d_4+d_3=5+3=8$$ $$d_6=d_5+d_4=8+5=13$$
a) $a_n=(-3,4,-5,6,-7,\ldots)$
b) $b_n=\Big(0,\dfrac{3}{8},\dfrac{4}{9},\dfrac{15}{32},\dfrac{12}{25},\ldots\Big)$
c) $c_n=(-9,0,15,36,63,\ldots)$
d) $d_n=(0,1,2,3,5,\ldots)$
Troba el terme general de les següents successions:
a) $(1,4,9,16,\ldots)$
b) $(-2,4,-6,8,\ldots)$
a) Si relacionem cada terme amb la posició que ocupa: $$a: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{R}$$ $$1\rightarrow 1$$ $$2\rightarrow 4$$ $$3\rightarrow 9$$ $$4\rightarrow 16$$ $$\ldots$$
Si ens fixem en el primer terme, veiem que aquest no s'ha modificat, i no obtenim informació. Però si ens fixem en el segon terme, veiem que $a_2$ és el doble de $2$, $a_3$ és el triple de $3$, i $a_4$ és el resultat de $4\cdot4$, és a dir que per aconseguir cada terme, s'ha multiplicat la posició del terme per ell mateix, és a dir, l'hem elevat al quadrat: $$a_1=1^2=1, \ a_2=2^2=4, \ a_3=3^2=9, \ a_4=4^2=16, \ \ldots$$ I el terme general, ens queda: $$a_n=(n^2)_{n\in\mathbb{N}}$$
b) Definirem aquesta successió de forma recursiva. D'una banda observem que cada terme canvia de signe el comparació a l'anterior, i d'altra banda, es veu que cada terme és el doble que l'anterior, així que tenim: $$a_{n+1}=-2\cdot a_n$$, i com que $a_1=-2$, ja tenim definida la successió. (També es pot donar el terme general $a_n=(-2)^n$ pensant en les progressions.)
a) $a_n=(n^2)_{n\in\mathbb{N}}$.
b) $a_{n+1}=-2\cdot a_n$, amb $a_1=-2$.
Comprova si els següents números pertanyen a cada successió, i en cas afirmatiu digues que posició ocupa:
a) $25$ pertany a la successió $a_n=(3n+4)_{n\in\mathbb{N}}$?
b) $\dfrac{9}{5}$ pertany a la successió $c_n=\dfrac{n^2}{n+1}$?
a) El nombre $25$ pertanyerà a la successió si hi ha un nombre natural $n$ tal que $a_n=25$. Com que $a_n=3n+4$, eeemplaçant una igualtat en l'altra tenim: $$25=3n+4$$ $$3n=21$$ $$n=7$$
Així que, no només veiem que pertany a la successió, sinó que hem trobat quina posició ocupa.
b) Procedirem de la mateixa manera que en el cas anterior: $$\left. \begin{array}{c} c_n=\dfrac{9}{5} \\ c_n=\dfrac{n^2}{n+1} \end{array} \right\} \Rightarrow \dfrac{9}{5}=\dfrac{n^2}{n+1} \Rightarrow 9(n+1)=5n^2$$
Així que només ens queda resoldre l'equació de segon grau:
$$5n^2-9n-1=0 \Rightarrow n=\dfrac{9\pm3\sqrt{5}}{10}$$ En no obtenir cap valor de $n$ enter, el número $\dfrac{9}{5}$ no forma part de la successió (no pot ocupar una posició irracional!).
a) $a_7=25$
b) No pertany a la successió.