Definició i terme general d'una successió

Una successió és una col·lecció ordenada i infinita de nombres reals. Se solen utilitzar lletres minúscules per denotar la successions.

Són successions: $$a: \ 1,\sqrt{2},-\dfrac{1}{3},0.27,\sqrt{7},\ldots$$ $$b: \ 1,3,9,27,81,\ldots$$ $$c: \ \dfrac{1}{\sqrt{2}},\dfrac{2}{\sqrt{2}},\dfrac{3}{\sqrt{2}},\dfrac{4}{\sqrt{2}},\dfrac{5}{\sqrt{2}},\ldots$$ $$d: \ \dfrac{2}{3}, -\dfrac{3}{4}, \dfrac{4}{5},-\dfrac{5}{6},\dfrac{6}{7},\ldots$$

Donar una llista de números en ordre és determinar quin és el primer, el segon, el tercer, ... o en termes matemàtics, és associar a cada nombre natural un únic nombre real, és a dir, una successió és una aplicació del conjunt de nombres naturals al conjunt de nombres reals: $a: \mathbb{N}\rightarrow\mathbb{R}$.

La successions anteriors s'escriuen:

$$a: \mathbb{N}\rightarrow\mathbb{R}$$

$$1 \rightarrow 1$$

$$2 \rightarrow \sqrt{2}$$

$$3 \rightarrow -\dfrac{1}{3}$$

$$4 \rightarrow 0.27$$

$$5 \rightarrow \sqrt{7}$$

$$\ldots$$

$$b: \mathbb{N}\rightarrow\mathbb{R}$$

$$1 \rightarrow 1$$

$$2 \rightarrow 3$$

$$3 \rightarrow 9$$

$$4 \rightarrow 27$$

$$5 \rightarrow 81$$

$$\ldots$$

Els números que formen la successió els anomenem termes, i solem referir-nos a ells utilitzant la lletra que denota la successió amb un subíndex que ens indica quina posició ocupa aquest terme en la successió:

$$a: \mathbb{N}\rightarrow\mathbb{R}$$

$$1 \rightarrow a_1$$

$$2 \rightarrow a_2$$

$$3 \rightarrow a_3$$

$$\ldots$$

$$n \rightarrow a_n$$

$$\ldots$$

El símbol $a_1$ representa el primer terme de la successió $a$, $a_2$ és el segon, $a_3$ el tercer, i així successivament; el símbol $a_n$ representa el terme que ocupa la posició $n$, és a dir, l'$n$-èsim terme de la successió.

Utilitzant els exemples anteriors, tenim que

$a_3$ és el tercer terme de la successió $a$, és a dir, $a_3=-\dfrac{1}{3}.$

$b_5$ és el cinquè terme de la successió $b$, és a dir, $b_5=243.$

$c_1$ és el primer terme de la successió $c$, és a dir, $c_1=\dfrac{1}{\sqrt{2}}.$

$d_4$ és el quart terme de la successió $d$, és a dir, $d_4=-\dfrac{5}{6}.$

Terme general d'una successió

Si els termes d'una successió segueixen una determinada llei en la seva formació, és a dir, si és possible donar una fórmula que relacioni el valor del terme $n$-èsim amb un nombre natural , anomenarem a aquesta fórmula terme general de la successió.

També podem interpretar el terme general com una funció real, i aleshores interpretar la successió com els valors que pren la funció en els nombres naturals.

En la successió $a$, els termes no segueixen cap pauta o regla en la seva formació, de manera que no es pot donar un terme general.

En la successió $c$ veiem que tots els termes estan dividits per $\sqrt{2}$, i el numerador coincideix sempre amb la posició que ocupa, és a dir, el primer terme de la successió té un $1$ en el numerador, el segon té un $2$, el tercer té un $3$, i així successivament, de manera que l'$n$-èsim terme tindrà per numerador $n$, així doncs, el terme general d'aquesta successió serà: $$c_n=\dfrac{n}{\sqrt{2}}.$$ Com hem comentat, la successió $c$ correspon a prendre els valors en els nombres naturals de la funció $f(x)= \dfrac{x}{\sqrt{2}}$.

Per remarcar que la successió és una aplicació del conjunt de nombres naturals, és a dir que $n\in\mathbb{N}$, algunes vegades s'escriu $(a_n)_{n\in\mathbb{N}}$ quan es refereix al terme general de la successió.

Successions definides per recurrència

Hi ha ocasions en què calcular el terme $n$-èsim és més fàcil a partir del terme, o termes, anteriors que de la posició que ocupa. En aquest cas, encara que no estem donant el terme general de la successió, s'accepta com a definició d'aquesta, i es diu que la successió està definida recursivament. En aquestes ocasions, a més de donar la fórmula que defineix la successió, cal donar el primer, o primers, termes.

En la successió $b$ dels exemples anteriors, s'observa que cada terme és el resultat de multiplicar l'anterior per $3$: $$a_1=3$$ $$a_2=3\cdot a_1=3\cdot3=9$$ $$a_3=3\cdot a_2=3\cdot9=27$$ $$\ldots$$

de tal manera que podríem definir la successió com: $$a_1=3$$ $$a_n=3\cdot a_{n-1}$$

Vegem un altre exemple on comprovem que per definir la successió no sempre és necessari només el terme anterior.

Definim la successió de la següent manera; $$a_1=0; \ \ a_2=1$$ $$a_n=a_{n-1}+a_{n-2}$$

Aquesta successió s'anomena successió de Fibonacci . Aquesta successió té nombroses propietats matemàtiques però va ser, curiosament, presentada a través d'un estudi sobre la taxa de reproducció dels conills.