Sistemes equivalents

En primer lloc escrivim un sistema de 5 incògnites i només 3 equacions: $$\left\{ \begin{array} {rcl} 2x+3y-z+u-2v & = & 1 \\ x-3y+2z-8+2v &=& -1 \\ -2x+y-2z-u+2v &=& 3 \end{array}\right.$$

o també el podem escriure mitjançant la seva forma matricial: $$\begin{pmatrix} 2 & 3 & -1 & 1 & -2 & | & 1 \\ 1 & -3 & 2 & 1 & 1 & | & -1 \\ -2 & 1 & -2 & -1 & 2 & | & 3 \end{pmatrix}$$

1. És trivial: $$2x+3y-z+u-2v=1$$ $$(2x+3y-z+u-2v)+\fbox{$3x-2$}=1+\fbox{$3x-2$}$$

2. Multipliquem una fila per un nombre diferent de zero: $$\begin{pmatrix} 2 & 3 & -1 & 1 & -2 & | & 1 \\ 1 & -3 & 2 & 1 & 1 & | & -1 \\ -2 & 1 & -2 & -1 & 2 & | & 3 \end{pmatrix} \Rightarrow 5\cdot fila1 \Rightarrow \begin{pmatrix} 10 & 15 & -5 & 5 & -10 & | & 5 \\ 1 & -3 & 2 & 1 & 1 & | & -1 \\ -2 & 1 & -2 & -1 & 2 & | & 3 \end{pmatrix} $$ i obtenim un sistema equivalent

3. Ara sumem fila2 a la fila1 per obtenir un sistema equivalent: $$\begin{pmatrix} 2 & 3 & -1 & 1 & -2 & | & 1 \\ 1 & -3 & 2 & 1 & 1 & | & -1 \\ -2 & 1 & -2 & -1 & 2 & | & 3 \end{pmatrix} \Rightarrow fila1+fila2 \Rightarrow \begin{pmatrix} 3 & 0 & -1 & 2 & -1 & | & 0 \\ 1 & -3 & 2 & 1 & 1 & | & -1 \\ -2 & 1 & -2 & -1 & 2 & | & 3 \end{pmatrix} $$

4. Ara sumem a la fila1 una combinació lineal de les files 2 i 3 per obtenir un sistema equivalent: $$\begin{pmatrix} 2 & 3 & -1 & 1 & -2 & | & 1 \\ 1 & -3 & 2 & 1 & 1 & | & -1 \\ -2 & 1 & -2 & -1 & 2 & | & 3 \end{pmatrix} \Rightarrow fila1-2\cdot fila2+fila3 \Rightarrow \begin{pmatrix} -2 & 10 & -7 & -2 & -2 & | & 6 \\ 1 & -3 & 2 & 1 & 1 & | & -1 \\ -2 & 1 & -2 & -1 & 2 & | & 3 \end{pmatrix} $$

5. Finalment un simple canvi d'ordre també ens dóna un sistema equivalent $$\begin{pmatrix} 2 & 3 & -1 & 1 & -2 & | & 1 \\ 1 & -3 & 2 & 1 & 1 & | & -1 \\ -2 & 1 & -2 & -1 & 2 & | & 3 \end{pmatrix} \Rightarrow col2 \leftrightarrow col3 \Rightarrow \begin{pmatrix} 2 & -1 & 3 & 1 & -2 & | & 1 \\ 1 & 2 & -3 & 1 & 1 & | & -1 \\ -2 & -2 & 1 & -1 & 2 & | & 3 \end{pmatrix} $$