Sistemas equivalentes

En primer lugar escribimos un sistema de 5 incógnitas y solamente 3 ecuaciones: $$\left\{ \begin{array} {rcl} 2x+3y-z+u-2v & = & 1 \\ x-3y+2z-8+2v &=& -1 \\ -2x+y-2z-u+2v &=& 3 \end{array}\right.$$

o también lo podemos escribir mediante en su forma matricial: $$\begin{pmatrix} 2 & 3 & -1 & 1 & -2 & | & 1 \\ 1 & -3 & 2 & 1 & 1 & | & -1 \\ -2 & 1 & -2 & -1 & 2 & | & 3 \end{pmatrix}$$

1. Es trivial: $$2x+3y-z+u-2v=1$$ $$(2x+3y-z+u-2v)+\fbox{$3x-2$}=1+\fbox{$3x-2$}$$

2. Multiplicamos una fila por un número diferente de cero: $$\begin{pmatrix} 2 & 3 & -1 & 1 & -2 & | & 1 \\ 1 & -3 & 2 & 1 & 1 & | & -1 \\ -2 & 1 & -2 & -1 & 2 & | & 3 \end{pmatrix} \Rightarrow 5\cdot fila1 \Rightarrow \begin{pmatrix} 10 & 15 & -5 & 5 & -10 & | & 5 \\ 1 & -3 & 2 & 1 & 1 & | & -1 \\ -2 & 1 & -2 & -1 & 2 & | & 3 \end{pmatrix} $$ y obtenemos un sistema equivalente

3. Ahora sumamos fila2 a la fila1 para obtener un sistema equivalente: $$\begin{pmatrix} 2 & 3 & -1 & 1 & -2 & | & 1 \\ 1 & -3 & 2 & 1 & 1 & | & -1 \\ -2 & 1 & -2 & -1 & 2 & | & 3 \end{pmatrix} \Rightarrow fila1+fila2 \Rightarrow \begin{pmatrix} 3 & 0 & -1 & 2 & -1 & | & 0 \\ 1 & -3 & 2 & 1 & 1 & | & -1 \\ -2 & 1 & -2 & -1 & 2 & | & 3 \end{pmatrix} $$

4. Ahora sumamos a la fila1 una combinación lineal de las filas 2 y 3 para obtener un sistema equivalente: $$\begin{pmatrix} 2 & 3 & -1 & 1 & -2 & | & 1 \\ 1 & -3 & 2 & 1 & 1 & | & -1 \\ -2 & 1 & -2 & -1 & 2 & | & 3 \end{pmatrix} \Rightarrow fila1-2\cdot fila2+fila3 \Rightarrow \begin{pmatrix} -2 & 10 & -7 & -2 & -2 & | & 6 \\ 1 & -3 & 2 & 1 & 1 & | & -1 \\ -2 & 1 & -2 & -1 & 2 & | & 3 \end{pmatrix} $$

5. Finalmente un simple cambio de orden también nos da un sistema equivalente $$\begin{pmatrix} 2 & 3 & -1 & 1 & -2 & | & 1 \\ 1 & -3 & 2 & 1 & 1 & | & -1 \\ -2 & 1 & -2 & -1 & 2 & | & 3 \end{pmatrix} \Rightarrow col2 \leftrightarrow col3 \Rightarrow \begin{pmatrix} 2 & -1 & 3 & 1 & -2 & | & 1 \\ 1 & 2 & -3 & 1 & 1 & | & -1 \\ -2 & -2 & 1 & -1 & 2 & | & 3 \end{pmatrix} $$