Mètode de substitució

Primer de tot és bo mirar si es poden simplificar les equacions. En el primer cas, cal passar totes les incògnites als primers membres de cada equació i operar quan sigui necessari: $$\left.\begin{array}{c} 2x+3y=21+4x \\ 8x-4y=6-2y \end{array} \right\} \Rightarrow \left.\begin{array}{c} 2x-4x+3y=21 \\ 8x-4y+2y=6 \end{array} \right\} \Rightarrow \left.\begin{array}{c} -2x+3y=21 \\ 8x-2y=6 \end{array} \right\} $$

En la segona equació es poden dividir tots els termes entre $2$, el que facilitarà aïllar $y$. En fer-ho s'obté: $$\left.\begin{array}{c} -2x+3y=21 \\ 4x-y=3 \end{array} \right\} $$

S'aïlla $y$ de la segona equació: $$-y=3-4x \Rightarrow y=4x-3$$

L'expressió obtinguda se substitueix a la primera equació: $$-2x+3(4x-3)=21 \Rightarrow -2x+12x-9=21 \Rightarrow 10x=21+9 \Rightarrow$$ $$\Rightarrow 10x=30 \Rightarrow x=\dfrac{30}{10}=3$$

Ara només queda substituir el valor de $x$ en la segona equació per trobar $y$: $$4\cdot3-y=3 \Rightarrow 12-y=3 \Rightarrow -y=3-12 \Rightarrow -y=-9 \Rightarrow y=9$$

Es comença aïllant $x$ en la primera equació: $$\dfrac{x}{2}-\dfrac{y}{3}=12 \Rightarrow \dfrac{x}{2}=12+\dfrac{y}{3} \Rightarrow x=2\Big(12+\dfrac{y}{3}\Big) \Rightarrow x=24+\dfrac{2y}{3}$$

Ara es pot substituir l'expressió en la segona equació per aconseguir una equació lineal amb una incògnita, que es resol directament: $$\dfrac{-2x}{3}+\dfrac{3y}{2}=6 \Rightarrow \dfrac{-2\Big(24+\dfrac{2y}{3}\Big)}{3}+\dfrac{3y}{2}=6 \Rightarrow \dfrac{-48-\dfrac{4y}{3}}{3}+\dfrac{3y}{2}=6 \Rightarrow$$ $$-144-\dfrac{12y}{3}+\dfrac{3y}{2}=6 \Rightarrow -\dfrac{12y}{3}+\dfrac{3y}{2}=6+144 \Rightarrow$$ $$-\dfrac{24y}{6}+\dfrac{9y}{6}=150 \Rightarrow -\dfrac{15y}{6}=150 \Rightarrow -15y=150\cdot6 \Rightarrow -15y=900 \Rightarrow$$ $$y=-\dfrac{900}{15}=-60$$ Ara que el valor de $y$ és conegut, es substitueix en la primera equació per saber el de $x$: $$x=24+\dfrac{2y}{3}=24+\dfrac{2(-60)}{3}=24+\dfrac{-120}{3}=24-40=-16$$