Mètode d'igualació

Abans d'aplicar el mètode d'igualació cal operar les equacions per a obtenir equacions equivalents amb les incògnites en el primer membre i els termes independents en el segon. En el primer cas: $$3x-2(3y+5)-10=7 \Rightarrow 3x-6y-10-10=7 \Rightarrow 3x-6y=7+10+10 \Rightarrow$$ $$\Rightarrow 3x-6y=27$$ A més, en aquesta equació es poden dividir tots els termes entre $3$, de manera que $ \dfrac{3x-6y=27}{3} \Rightarrow x-2y=9$.

Es simplifica la segona equació del sistema: $$4(x-3)+2y=-3+y \Rightarrow 4x-12+2y-y=-3 \Rightarrow 4x+y=-3+12 \Rightarrow 4x+y=9$$ Amb totes dues equacions simplificades es planteja un sistema equivalent a l'inicial i s'aplica el mètode d'igualació: $$\left.\begin{array}{c} x-2y=9 \\ 4x+y=9 \end{array} \right\} \Rightarrow \left.\begin{array}{c} x=9+2y \\ 4x=9-y \end{array} \right\} \Rightarrow \left.\begin{array}{c} x=9+2y \\ x=\dfrac{9-y}{4} \end{array} \right\}$$

S'igualen les expressions i es troba $y$: $$9+2y=\dfrac{9-y}{4} \Rightarrow 4(9+2y)=9-y \Rightarrow 36+8y=9-y \Rightarrow 8y+y=9-36 \Rightarrow$$ $$9y=-27 \Rightarrow y=\dfrac{-27}{9}=-3$$

Es substitueix el valor de $y$ en la primera equació per calcular el de $x$: $$x=9+2y \Rightarrow x=9+2(-3)=9-6=3$$

Ara cal tenir una mica de desimboltura operant amb fraccions, però primer cal agrupar termes semblants:

$$\left.\begin{array}{c} x+\dfrac{y}{3}=3 \\ \dfrac{x}{2}-y=-2 \end{array} \right\}$$

Ara es poden eliminar les fraccions. Per a això cal multiplicar la primera equació per $3$ i la segona per $2$:

$$\left.\begin{array}{c} 3\cdot\Big[x+\dfrac{y}{3}=3\Big] \\ 2\cdot\Big[\dfrac{x}{2}-y=-2\Big] \end{array} \right\} \Rightarrow \left.\begin{array}{c} 3x+y=9 \\ x-2y=-4 \end{array} \right\} $$

Aquest sistema és totalment equivalent al primer.

Si s'aïlla $x$ de la primera equació s'obté: $$3x=9-y \Rightarrow x=\dfrac{9-y}{3}=3-\dfrac{y}{3}$$ Si s'aïlla la mateixa incògnita en la segona equació s'aconsegueix: $$x=2y-4$$ Ara es poden igualar les dues expressions i es resol l'equació resultant: $$3-\dfrac{y}{3}=2y-4 \Rightarrow -\dfrac{y}{3}-2y=-4-3 \Rightarrow \dfrac{-y-6y}{3}=-7 \Rightarrow -7y=-21 \Rightarrow y=\dfrac{-21}{-7}=3$$ Es substitueix el valor de $y$ en la segona equació per calcular el de $x$: $$x=2\cdot(3)-4=6-4=2$$