Mètode d'igualació

El mètode d'igualació, consisteix en aïllar la mateixa incògnita en les dues equacions i igualar les expressions obtingudes.

$$\left.\begin{array}{c} x+y=3 \\ x-y=-1 \end{array} \right\}$$

Si s'aïlla $x$ en ambdues equacions és té:

$$\left.\begin{array}{c} x=3-y \\ x=-1+y \end{array} \right\}$$

Aquest sistema és equivalent al primer, ja que només han canviat de posició alguns termes. L'important és que com el valor de x ha de ser el mateix en ambdues equacions es poden igualar les expressions obtingudes, de manera que:

$$3-y=-1+y$$

Que és una equació lineal amb una incògnita el valor de la qual es pot esbrinar ràpidament:

$$-y-y=-1-3 \Rightarrow -2y=-4 \Rightarrow y=\dfrac{-4}{-2}=2$$

Per trobar el valor de $x$ només cal substituir el valor de $y$ en qualsevol de les equacions del sistema. Si es fa servir la primera:

$$x=3-y \Rightarrow x=3-2=1$$

De manera que la solució a aquest sistema és $x=1, y=2$.

De vegades resultarà més fàcil operar alguns dels membres de les equacions abans d'aïllar les incògnites.

$$\left.\begin{array}{c} 2(x-1)+3(y+2)=-3 \\ x+5-2y=1-2x \end{array} \right\}$$

A la primera equació cal desfer-se primer dels parèntesis, per a després deixar les incògnites en el primer membre i els termes independents en el segon:

$$2x-2+3y+6=-3 \Rightarrow 2x+3y=-3+2-6 \Rightarrow 2x+3y=-7$$

També cal operar a la segona equació per separar les incògnites dels termes independents:

$$x-2y+2x=1-5 \Rightarrow 3x-2y=-4$$

Amb les dues equacions obtingudes es planteja un sistema totalment equivalent al primer:

$$\left.\begin{array}{c} 2x+3y=-7 \\ 3x-2y=-4 \end{array} \right\}$$

Ara ja es pot aïllar la mateixa incògnita en les dues equacions, per exemple, la $x$:

$$\left.\begin{array}{c} 2x=-7-3y \\ 3x=-4+2y \end{array} \right\} \Rightarrow \left.\begin{array}{c} x=\dfrac{-7-3y}{2} \\ x=\dfrac{-4+2y}{3} \end{array} \right\} $$

S'igualen les expressions obtingudes i es resol l'equació:

$$\dfrac{-7-3y}{2}=\dfrac{-4+2y}{3} \Rightarrow 3(-7-3y)=2(-4+2y) \Rightarrow$$

$$\Rightarrow -21-9y=-8+4y \Rightarrow -9y-4y=-8+21 \Rightarrow -13y=13 \Rightarrow \\ y=-\dfrac{13}{13}=-1$$

Només queda substituir el valor obtingut en qualsevol de les equacions, per exemple, en la segona:

$$x=\dfrac{-4+2(-1)}{3}=\dfrac{-4-2}{3}=\dfrac{-6}{3}=-2$$

De manera que la solució a aquest sistema és $x=-2, y=-1$.

En resum, els passos a seguir per aplicar el mètode d'igualació en resoldre un sistema són:

1. Aïllar la mateixa incògnita en les dues equacions.
2. Igualar les expressions obtingudes, de manera que s'aconsegueix una equació amb una incògnita que es resol fàcilment.
3. Substituir el valor obtingut en qualsevol de les equacions del sistema per trobar la incògnita que falta.