Método de igualación

El método de igualación, consiste en despejar la misma incógnita en ambas ecuaciones e igualar las expresiones obtenidas.

$$\left.\begin{array}{c} x+y=3 \\ x-y=-1 \end{array} \right\}$$

Si se despeja $x$ en ambas se tiene que:

$$\left.\begin{array}{c} x=3-y \\ x=-1+y \end{array} \right\}$$

Este sistema es equivalente al primero, puesto que sólo han cambiado de posición algunos términos. Lo importante es que como el valor de $x$ ha de ser el mismo en ambas ecuaciones se pueden igualar las expresiones obtenidas, de modo que:

$$3-y=-1+y$$

Que es una ecuación lineal con una incógnita cuyo valor se puede averiguar rápidamente

$$-y-y=-1-3 \Rightarrow -2y=-4 \Rightarrow y=\dfrac{-4}{-2}=2$$

Para hallar el valor de $x$ sólo hay que sustituir el valor de $y$ en cualquiera de las ecuaciones del sistema. Si se usa la primera:

$$x=3-y \Rightarrow x=3-2=1$$

De modo que la solución a este sistema es $x=1, y=2$.

En ocasiones resultará más fácil operar algunos de los miembros de las ecuaciones antes de despejar las incógnitas.

$$\left.\begin{array}{c} 2(x-1)+3(y+2)=-3 \\ x+5-2y=1-2x \end{array} \right\}$$

En la primera ecuación hay que deshacerse primero de los paréntesis, para luego dejar las incógnitas en el primer miembro y los términos independientes en el segundo:

$$2x-2+3y+6=-3 \Rightarrow 2x+3y=-3+2-6 \Rightarrow 2x+3y=-7$$

También hay que operar en la segunda ecuación para separar las incógnitas de los términos independientes:

$$x-2y+2x=1-5 \Rightarrow 3x-2y=-4$$

Con las dos ecuaciones obtenidas se plantea un sistema totalmente equivalente al primero:

$$\left.\begin{array}{c} 2x+3y=-7 \\ 3x-2y=-4 \end{array} \right\}$$

Ahora ya se puede despejar la misma incógnita en ambas ecuaciones, por ejemplo, la $x$:

$$\left.\begin{array}{c} 2x=-7-3y \\ 3x=-4+2y \end{array} \right\} \Rightarrow \left.\begin{array}{c} x=\dfrac{-7-3y}{2} \\ x=\dfrac{-4+2y}{3} \end{array} \right\} $$

Se igualan las expresiones obtenidas y se resuelve la ecuación:

$$\dfrac{-7-3y}{2}=\dfrac{-4+2y}{3} \Rightarrow 3(-7-3y)=2(-4+2y) \Rightarrow $$

$$\Rightarrow -21-9y=-8+4y \Rightarrow -9y-4y=-8+21 \Rightarrow -13y=13 \Rightarrow \\ y=-\dfrac{13}{13}=-1$$

Sólo queda sustituir el valor obtenido en cualquiera de las ecuaciones, por ejemplo, en la segunda:

$$x=\dfrac{-4+2(-1)}{3}=\dfrac{-4-2}{3}=\dfrac{-6}{3}=-2$$

De modo que la solución a este sistema es $x=-2, y=-1$.

En resumen, los pasos a seguir para aplicar el método de igualación al resolver un sistema son:

1. Despejar la misma incógnita en ambas ecuaciones.
2. Igualar las expresiones obtenidas, con lo que se consigue una ecuación con una incógnita que se resuelve fácilmente.
3. Sustituir el valor obtenido en cualquiera de las ecuaciones del sistema para hallar la incógnita que falta.