Sistema de numeració decimal, binari i hexadecimal

A l'escola s'ensenya que hi ha $10$ símbols o xifres que s'utilitzen per escriure tots els números, es tracta de $0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8$ i $9$.

Per escriure nombres més grans que $9$ es repeteixen les mateixes xifres però en un ordre determinat.

Per exemple, usant $1$ i $3$ es poden escriure el $13$ i el $31$, de manera que la posició en què queden col·locats els símbols o xifres determina el valor del nombre final: $13$ és menor que $31$.

Segons aquest mètode, un nombre consta d'unitats, desenes, centenes, etc.

$13$ consta d'$1$ desena i $3$ unitats.

$31$ consta de $3$ desenes i $1$ unitat.

$131$ consta d'$1$ centena, $3$ desenes i $1$ unitat.

Aquesta classificació també es pot expressar així:

Tretze és una vegada deu més tres.

Trenta-un és tres vegades deu més un.

Cent trenta-un és una vegada cent més tres vegades deu més un.

Numèricament, les classificacions anteriors s'escriuen de la manera següent:

$$13=1\cdot10+3$$

$$31=3\cdot10+1$$

$$131=1\cdot100+3\cdot10+1$$

Una manera equivalent d'expressar el mateix és:

$$13=1\cdot10^1+3\cdot10^0$$

$$31=3\cdot10^1+1\cdot10^0$$

$$131=1\cdot10^2+3\cdot10^1+1\cdot10^0$$

Els tres números poden descompondre's en potències de $10$. Per representar les unitats es pot usar $10$ elevat a $0$, ja que $a^0=1.$

Les desenes es representen amb $10$ elevat a $1$ i les centenes amb $10$ elevat a $2$. Si n'hi ha, les unitats de miler es representarien amb $10$ elevat a $3$, les desenes de miler amb $10$ elevat a $4$, i així successivament ...

$$13.031=1\cdot10^4+3\cdot10^3+0\cdot10^2+3\cdot10^1+1\cdot10^0$$

En aquest cas, l'absència de centenars es representa multiplicant per $0$ la potència que correspon a les centenes ($10$ elevat a $2$).

Tots aquests números estan expressats en el sistema de numeració decimal i per això es poden descompondre en potències de $10$. Es tracta del sistema més conegut per explicar i agrupar objectes, però no és l'únic.

Els següents números estan expressats en sistemes diferents al decimal:

$$(11011)_2$$

$$(1B)_{16}$$

Encara que ambdós són equivalents al mateix nombre decimal, el $27$.

En el primer cas, $(11011)_2$, el subíndex indica que la base del sistema és $2$, també conegut com a sistema binari. En aquest sistema es fan servir només dos símbols o xifres, el $0$ i l'$1$, i la descomposició es realitza en potències de $2$: $$(11011)_2=1\cdot2^4+1\cdot2^3+0\cdot2^2+1\cdot2^1+1\cdot2^0$$

És a dir, aquest número es descompon en $1$ grup de $16$, més $1$ de $8$, cap de $4, 1$ de $2$ i $1$ de $1$.

Si es resol l'operació s'obté el nombre equivalent "traduït" al sistema decimal:

$$16+8+0+2+1=27$$

Per a descomposar amb facilitat només cal tenir en compte que la primera xifra del nombre representa la màxima potència d'aquest, i que l'exponent va decreixent a mesura que avancem cap a la dreta.

Del cas anterior es dedueix que un nombre amb $5$ xifres té $5$ potències, que aniran decreixent del grau $4$ al $0$.

El segon exemple és la mateixa xifra, $27$, però expressada en el sistema de numeració en base $16$ o hexadecimal, tal com indica el subíndex: $(1B)_{16}$

La base també indica el nombre de símbols o xifres que s'usen en el sistema. El sistema binari era base $2$ i feia servir dues xifres: $0$ i $1$.

A l'hexadecimal, se n'usen $16$, del $0$ al $15$, però per evitar confusions es recorre a les lletres de la A a la F per referir-se als símbols del $10$ al $15$. Amb el que ara es pot entendre que, en l'exemple, B representa la xifra $11$.

En el sistema hexadecimal, la descomposició es realitza en potències de $16$: $$(1B)_{16}=(1(11))_{16}=1\cdot16^1+11\cdot16^0=16+11=27$$

De manera que $1B$ en sistema hexadecimal implica tenir $1$ grup de $16$ més $11$ d'$1$.

Els següents exemples permetran agafar més pràctica a l'hora de buscar l'equivalent decimal de nombres expressats en altres sistemes.

$$(111)_3$$

A simple vista, s'observa que és un nombre en base $3$ (sistema ternari), de manera que utilitza $3$ símbols o xifres $(0, 1$ i $2)$ i la descomposició es realitza en potències de $3$: $$(111)_3=1\cdot3^2+1\cdot3^1+1\cdot3^0=9+3+1=13$$

Com que el número té $3$ xifres, les potències decreixeran de $2$ a $0$, de manera que el número consta d'$1$ grup de $9, 1$ de $3$ i $1$ de $1$.

$$(23)_5$$

Es un número en base $5$, que, per tant, fa servir $5$ símbols: $0, 1, 2, 3$ i $4$. La descomposició es realitza en potències de $5$:

$$(23)_5=2\cdot5^1+3\cdot5^0=10+3=13$$

$$(15)_8$$

És un número en base $8$ o octal, utiliza $8$ símbols (del $0$ al $7$) i la descomposició es fa en potències de $8$:

$$(15)_8=1\cdot8^1+5\cdot8^0=8+5=13$$

Aquests tres últims exemples fan referència al mateix nombre decimal, el $13$.