Sistema de numeración decimal, binario y hexadecimal

En el colegio se enseña que hay $10$ símbolos o cifras que se utilizan para escribir todos los números, se trata de $0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8$ y $9$.

Para escribir números mayores que $9$ se repiten las mismas cifras pero en un orden determinado.

Por ejemplo, usando $1$ y $3$ se pueden escribir el $13$ y el $31$, de modo que la posición en la que quedan colocados los símbolos o cifras determina el valor del número final: $13$ es menor que $31$.

Según este método, un número consta de unidades, decenas, centenas, etc.

$13$ consta de $1$ decena y $3$ unidades.

$31$ consta de $3$ decenas y $1$ unidad.

$131$ consta de $1$ centena, $3$ decenas y $1$ unidad.

Esta clasificación también se puede expresar así:

Trece es una vez diez más tres.

Treinta y uno es tres veces diez más uno.

Ciento treinta y uno es una vez cien más tres veces diez más uno.

Numéricamente, las clasificaciones anteriores se escriben del siguiente modo:

$$13=1\cdot10+3$$

$$31=3\cdot10+1$$

$$131=1\cdot100+3\cdot10+1$$

Una forma equivalente de expresar lo mismo es:

$$13=1\cdot10^1+3\cdot10^0$$

$$31=3\cdot10^1+1\cdot10^0$$

$$131=1\cdot10^2+3\cdot10^1+1\cdot10^0$$

Los tres números pueden descomponerse en potencias de $10$. Para representar las unidades se puede usar $10$ elevado a $0$, ya que, tal y como se explica en el tema Potencias y Raíces: $a^0=1.$

Las decenas se representan con $10$ elevado a $1$ y las centenas con $10$ elevado a $2$. Si las hubiera, las unidades de millar se representarían con $10$ elevado a $3$, las decenas de millar con $10$ elevado a $4$, y así sucesivamente...

$$13.031=1\cdot10^4+3\cdot10^3+0\cdot10^2+3\cdot10^1+1\cdot10^0$$

En este caso, la ausencia de centenas se representa multiplicando por $0$ la potencia que corresponde a las centenas ($10$ elevado a $2$).

Todos estos números están expresados en el sistema de numeración decimal y por eso se pueden descomponer en potencias de $10$. Se trata del sistema más conocido para contar y agrupar objetos, pero no es el único.

Los siguientes números están expresados en sistemas diferentes al decimal:

$$(11011)_2$$

$$(1B)_{16}$$

Aunque ambos son equivalentes al mismo número decimal, el $27$.

En el primer caso, $(11011)_2$, el subíndice indica que la base del sistema es $2$, también conocido como sistema binario. En este sistema se usan sólo dos símbolos o cifras, el $0$ y el $1$, y la descomposición se realiza en potencias de $2$: $$(11011)_2=1\cdot2^4+1\cdot2^3+0\cdot2^2+1\cdot2^1+1\cdot2^0$$

Es decir, este número se descompone en $1$ grupo de $16$, más $1$ de $8$, ninguno de $4, 1$ de $2$ y $1$ de $1$.

Si se resuelve la operación se obtiene el número equivalente "traducido" al sistema decimal:

$$16+8+0+2+1=27$$

Para descomponer con soltura sólo hay que tener en cuenta que la primera cifra del número representa la máxima potencia del mismo, y que el exponente va decreciendo a medida que avanzamos hacia la derecha.

Del caso anterior se deduce que un número con $5$ cifras tiene $5$ potencias, que irán decreciendo del grado $4$ al $0$.

El segundo ejemplo es la misma cifra, $27$, pero expresada en el sistema de numeración en base $16$ o hexadecimal, tal como indica el subíndice: $(1B)_{16}$

La base también indica el número de símbolos o cifras que se usan en el sistema. El sistema binario era base $2$ y usaba dos cifras: $0$ y $1$.

En el hexadecimal, se usan $16$, del $0$ al $15$, pero para evitar confusiones se recurre a las letras de la A a la F para referirse a los símbolos del $10$ al $15$. Con lo que ahora se puede entender que, en el ejemplo, B representa la cifra $11$.

En el sistema hexadecimal, la descomposición se realiza en potencias de $16$: $$(1B)_{16}=(1(11))_{16}=1\cdot16^1+11\cdot16^0=16+11=27$$

De modo que $1B$ en sistema hexadecimal implica tener $1$ grupo de $16$ más $11$ de $1$.

Los siguientes ejemplos permitirán coger más práctica a la hora de buscar el equivalente decimal de números expresados en otros sistemas.

$$(111)_3$$

A simple vista, se observa que es un número en base $3$ (sistema ternario), de modo que usa $3$ símbolos o cifras $(0, 1$ y $2)$ y la descomposición se realiza en potencias de $3$: $$(111)_3=1\cdot3^2+1\cdot3^1+1\cdot3^0=9+3+1=13$$

Como el número tiene $3$ cifras, las potencias decrecerán de $2$ a $0$, de modo que el número consta de $1$ grupo de $9, 1$ de $3$ y $1$ de $1$.

$$(23)_5$$

Es un número en base $5$, que, por tanto, usa $5$ símbolos: $0, 1, 2, 3$ y $4$. La descomposición se realiza en potencias de $5$:

$$(23)_5=2\cdot5^1+3\cdot5^0=10+3=13$$

$$(15)_8$$

Es un número en base $8$ u octal, utiliza $8$ símbolos (del $0$ al $7$) y la descomposición se hace en potencias de $8$:

$$(15)_8=1\cdot8^1+5\cdot8^0=8+5=13$$

Estos tres últimos ejemplos hacen referencia al mismo número decimal, el $13$.