Simetria, periodicitat i punts de tall d'una funció

Dir si les següents funcions són simètriques, antisimètriques i/o periòdiques o no i trobar els punts de tall amb els eixos:

  1. $f(x)=x^2-4$
  2. $f(x)=\cos (x)$
  3. $f(x)=\dfrac{2x}{x^2-1}$
  4. $f(x)=x$
  1. La funció és simètrica respecte l'eix $x=0$: $$ f(-x)=(-x)^2-4=x^2-4=f(x)$$ La funció no és periòdica ja que no presenta cap tipus de període.

Punts de tall amb els eixos:

Si $x=0 \Rightarrow y=f(0)=-4 \Rightarrow (0,-4)$

Si $y=0 \Rightarrow 0=f(x)=x^2-4 \Rightarrow x^2=4 \Rightarrow x=\pm2 \Rightarrow (2,0), \ (-2,0)$

  1. La funció és simètrica respecte l'eix $x=0$ ja que $$\cos (x)=\cos(-x)$$ A més, el cosinus és $2\pi$-periòdic: $\cos(x+2\pi)=\cos(x)$.

Punts de tall amb els eixos:

Si $x=0 \Rightarrow y=f(0)=\cos(0)=1 \Rightarrow (0,1)$

Si $y=0 \Rightarrow 0=f(x)=\cos(x) \Rightarrow x=\pi+\pi k \Rightarrow (\pi+\pi k,0)$ per a tot $k\in\mathbb{Z}$

  1. Aquesta funció és antisimètrica respecte l'eix $x=0$ ja que $$ f(-x)=\dfrac{-2x}{(-x)^2-1}=\dfrac{-2x}{x^-1}=-f(x)$$ No presenta cap tipus de període.

Punts de tall amb els eixos:

Si $x=0 \Rightarrow y=f(0)=0 \Rightarrow (0,0)$

Si $y=0 \Rightarrow 0=f(x)=\dfrac{2x}{x^2-1} \Rightarrow 0=2x \Rightarrow x=0 \Rightarrow (0,0)$

  1. Funció clarament antisimètrica en l'eix $x=0$: $$f(-x)=-x=-f(x)$$ Punts de tall amb els eixos:

Si $x=0 \Rightarrow y=f(0)=0 \Rightarrow (0,0)$

Si $y=0 \Rightarrow 0=f(x)=x \Rightarrow x=0 \Rightarrow (0,0)$

  1. Funció parella, no periòdica. Talla amb els eixos en els punts $(0,-4),\ (2,0), \ (-2,0)$.
  2. Funció parella, periòdica de període $2\pi$. Talla amb els eixos en els punts $(0,1), \ (\pi+\pi k,0)$ per a tot $k\in\mathbb{Z}$.
  3. Funció senar, sense períodes. Talla amb els eixos en el punt $(0,0)$.
  4. Funció senar, sense períodes. Talla amb els eixos en el punt $(0,0)$.
Tornar al tema