Simetría, periodicidad y puntos de corte de una función

1. La función es simétrica respecto el eje $x=0$: $$ f(-x)=(-x)^2-4=x^2-4=f(x)$$ La función no es periódica ya que no presenta ningun tipo de periodo.

Puntos de corte con los ejes:

Si $x=0 \Rightarrow y=f(0)=-4 \Rightarrow (0,-4)$

Si $y=0 \Rightarrow 0=f(x)=x^2-4 \Rightarrow x^2=4 \Rightarrow x=\pm2 \Rightarrow (2,0), \ (-2,0)$

2. La función es simétrica respecto el eje $x=0$ ya que $$\cos (x)=\cos(-x)$$ Además, el coseno es $2\pi$-periódico: $\cos(x+2\pi)=\cos(x)$.

Puntos de corte con los ejes:

Si $x=0 \Rightarrow y=f(0)=\cos(0)=1 \Rightarrow (0,1)$

Si $y=0 \Rightarrow 0=f(x)=\cos(x) \Rightarrow x=\pi+\pi k \Rightarrow (\pi+\pi k,0)$ para todo $k\in\mathbb{Z}$

3. Esta función es antisimétrica respecto el eje $x=0$ ya que $$ f(-x)=\dfrac{-2x}{(-x)^2-1}=\dfrac{-2x}{x^-1}=-f(x)$$ No presenta ningún tipo de período.

Puntos de corte con los ejes:

Si $x=0 \Rightarrow y=f(0)=0 \Rightarrow (0,0)$

Si $y=0 \Rightarrow 0=f(x)=\dfrac{2x}{x^2-1} \Rightarrow 0=2x \Rightarrow x=0 \Rightarrow (0,0)$

4. Función claramente antisimétrica en el eje $x=0$: $$f(-x)=-x=-f(x)$$ Puntos de corte con los ejes:

Si $x=0 \Rightarrow y=f(0)=0 \Rightarrow (0,0)$

Si $y=0 \Rightarrow 0=f(x)=x \Rightarrow x=0 \Rightarrow (0,0)$