Concavitat i convexitat, punts d'inflexió d'una funció

Trobar els punts d'inflexió de les següents funcions:

$f(x)=x^2+1$
$f(x)=1$
$f(x)=\ln(x^2+1)-x$
$f(x)=x^3-2x^2$

Resoldrem l'exercici fent tots els passos: derivar dues vegades la funció, igualar a zero, resoldre l'equació i els punts trobats seran els punts d'inflexió.

$f'(x)=2x \Rightarrow f''(x)=2$

$f''(x)=0 \Rightarrow 2=0 \Rightarrow$ No hi ha punts d'inflexió.

$f'(x)=0 \Rightarrow f''(x)=0$

$f''(x)=0 \Rightarrow 0=0$

Aquest és un cas particular. Arribem a una situació que no és falsa però no trobem cap $x$ concreta. Això significa que totes les $x$ són punts d'inflexió.

$f'(x)=\dfrac{2x}{x^2+1} \Rightarrow f''(x)=\dfrac{-2x^2+2}{(x^2+1)^2}$

$f''(x)=0 \Rightarrow \dfrac{-2x^2+2}{(x^2+1)^2}=0 \Rightarrow -2x^2+2=0 \Rightarrow x^2=1 \Rightarrow x=1, \ x=-1 $

Tenim punts d'inflexió en $x=1$ i $x=-1$.

$f'(x)=3x^2-4x \Rightarrow f''(x)=6x-4$

$f''(x)=0 \Rightarrow 6x-4=0 \Rightarrow x=\dfrac{4}{6}$

Tenim punts d'inflexió en $x=\dfrac{4}{6}$.

No hi han punts d'inflexió.
Tots els punts són d'inflexió.
Tenim punts d'inflexió en $x=1$ i $x=-1$.
Tenim punts d'inflexió en $x=\dfrac{4}{6}$.

Tornar al tema