Concavidad y convexidad, puntos de inflexión de una función

Encontrar los puntos de inflexión de las siguientes funciones.

  1. $f(x)=x^2+1$
  2. $f(x)=1$
  3. $f(x)=\ln(x^2+1)-x$
  4. $f(x)=x^3-2x^2$

Resolveremos el ejercicio haciendo todos los pasos: derivar dos veces la función, igualar a cero, resolver la ecuación y los puntos encontrados seran los puntos de inflexión.

  1. $f'(x)=2x \Rightarrow f''(x)=2$

$f''(x)=0 \Rightarrow 2=0 \Rightarrow$ No hay puntos d'inflexión.

  1. $f'(x)=0 \Rightarrow f''(x)=0$

$f''(x)=0 \Rightarrow 0=0$

Este es un caso particular. Llegamos a una situación que no es falsa pero no encontramos ninguna $x$ concreta. Esto significa que todas las $x$ son puntos de inflexión.

  1. $f'(x)=\dfrac{2x}{x^2+1} \Rightarrow f''(x)=\dfrac{-2x^2+2}{(x^2+1)^2}$

$f''(x)=0 \Rightarrow \dfrac{-2x^2+2}{(x^2+1)^2}=0 \Rightarrow -2x^2+2=0 \Rightarrow x^2=1 \Rightarrow x=1, \ x=-1 $

Tenemos puntos de inflexión en $x=1$ y $x=-1$.

  1. $f'(x)=3x^2-4x \Rightarrow f''(x)=6x-4$

$f''(x)=0 \Rightarrow 6x-4=0 \Rightarrow x=\dfrac{4}{6}$

Tenemos puntos de inflexión en $x=\dfrac{4}{6}$.

  1. No hay puntos de inflexión.
  2. Todos los puntos son de inflexión.
  3. Tenemos puntos de inflexión en $x=1$ y $x=-1$.
  4. Tenemos puntos de inflexión en $x=\dfrac{4}{6}$.
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