Suma de termes d'una progressió aritmètica
En una progressió aritmètica de terme general $a_n=5n+2$, quants termes cal sumar perquè el resultat sigui $6.475$?
Volem trobar un natural $m$ tal que la suma dels $m$ primers termes de la successió $a_n=5n+2$ ens doni exactament $6.475$, és a dir, que $S_m=\sum_{n=1}^m 5n+2 = 6.475$, però sabem que:
$$S_m=\dfrac{m\cdot(a_1+a_m)}{2}=\dfrac{m\cdot ((5+2)+(5m+2))}{2}$$
I igualant les dues expressions, ens queda que:
$$6.475=\dfrac{m(7+5m+2)}{2}$$
Així que només ens queda resoldre aquesta equació de segon grau:
$$5m^2+9m-12.850=0 \Rightarrow m=\left\{ \begin{array}{c} 50 \\ -\dfrac{259}{5} \end{array} \right.$$
Sabem que $m$ ha de ser un enter positiu, i per tant ens quedem amb la solució $m=50.$
Cal sumar els $50$ primers termes.
Calcula el primer terme d'una progressió aritmètica amb diferència $d=-\dfrac{1}{2}$ i tal que la suma dels $30$ primers termes és igual a $13.$
Volem trobar un nombre real $a_1$ tal que sigui el primer terme d'una progressió aritmètica de diferència $d=-\dfrac{1}{2}$ i tal que la suma dels $30$ primers termes és igual a $13$.
És a dir, tenim la progressió $$a_n=a_1+(n-1)\Big(-\dfrac{1}{2}\Big)=a_1+\dfrac{1-n}{2}$$ i la suma dels primers $30$ termes és igual a $13$ $$S_30=\sum_{n=1}^30 \Big(a_1+\dfrac{1-n}{2}\Big) = 13$$ i d'altra banda tenim que $$S_30=\dfrac{30(a_1+a_30)}{2}=15\Big(a_1+\Big(a_1+\dfrac{1-30}{2}\Big)\Big)$$ ajuntant aquestes dues expressions, obtenim: $$15\Big(2a_1-\dfrac{29}{2}\Big)=13$$
I en resoldre aquesta equació ens dóna: $$a_1=\dfrac{461}{60}$$
$$a_1=\dfrac{461}{60}$$