Suma de términos de una progresión aritmética
En una progresión aritmética de termino general $a_n=5n+2$, cuantos términos hay que sumar para que el resultado sea $6.475$?
Queremos encontrar un natural $m$ tal que la suma de los $m$ primeros términos de la sucesión $a_n=5n+2$ nos de exactamente $6.475$, es decir, que $S_m=\sum_{n=1}^m 5n+2 = 6.475$, pero sabemos que:
$$S_m=\dfrac{m\cdot(a_1+a_m)}{2}=\dfrac{m\cdot ((5+2)+(5m+2))}{2}$$
Y equiparando ambas expresiones, nos queda que:
$$6.475=\dfrac{m(7+5m+2)}{2}$$
Así que solo nos queda resolver esta ecuación de segundo grado:
$$5m^2+9m-12.850=0 \Rightarrow m=\left\{ \begin{array}{c} 50 \\ -\dfrac{259}{5} \end{array} \right.$$
Sabemos que $m$ debe ser un entero positivo, nos quedamos con la solución $m=50.$
Es preciso sumar los $50$ primeros términos.
Calcula el primer término de una progresión aritmética con diferencia $d=-\dfrac{1}{2}$ y tal que la suma de los $30$ primeros términos es igual a $13.$
Queremos encontrar un número real $a_1$ tal que sea el primer término de una progresión aritmética de diferencia $d=-\dfrac{1}{2}$ y tal que la suma de los $30$ primeros términos es igual a $13$.
Es decir, tenemos la progresión $$a_n=a_1+(n-1)\Big(-\dfrac{1}{2}\Big)=a_1+\dfrac{1-n}{2}$$ y la suma de los primeros $30$ primeros términos es igual a $13$ $$S_30=\sum_{n=1}^30 \Big(a_1+\dfrac{1-n}{2}\Big) = 13$$ y por otra parte tenemos que $$S_30=\dfrac{30(a_1+a_30)}{2}=15\Big(a_1+\Big(a_1+\dfrac{1-30}{2}\Big)\Big)$$ juntando estas dos expresiones, obtenemos: $$15\Big(2a_1-\dfrac{29}{2}\Big)=13$$
Y al resolver esta ecuación nos da: $$a_1=\dfrac{461}{60}$$
$a_1=\dfrac{461}{60}$