Maximització i minimització

Es desitja obtenir tres elements químics a partir de les substàncies A i B. Un quilo d'A conté $8$ grams del primer element, $1$ gram del segon i $2$ del tercer. Un quilo de B té $4$ grams del primer element, $1$ gram del segon i $2$ del tercer. Es desitja obtenir almenys $16$ grams del primer element i les quantitats del segon i del tercer han de ser com a molt $5$ i $20$ grams respectivament, i a més la quantitat d'A és com a molt el doble que la de B.

Calculeu els quilos d'A i els de B que han de prendre's perquè el cost sigui mínim tenint en compte que un quilo d'A val $20€$ i un de B $100€$.

Variables del problema:

$x$: quilos de la substància A.

$y$: quilos de la substància B.

Funció objectiu:

S'ha de minimitzar el cost (cost $=$ (preu del quilo de la substància A) $\times$ (preu del quilo d'A) $+$ (preu del quilo de la substància B) $\times$ (preu del quilo de B)): $$C(x,y)=20\cdot x+100\cdot y$$

Restriccions:

  • $x\geqslant 0$, $y\geqslant 0$ (el nombre de quilos no pot ser negatiu).

  • $8x+4y\geqslant 16$ (com a mínim hem d'aconseguir $16$ g de la primera substància).

  • $x+y\leqslant 5$ (com a màxim s'han d'obtenir $5$ g de la segona substància).

  • $2\cdot x+2\cdot y\leqslant 20$ (com a màxim s'han d'obtenir $20$ g de la tercera substància).

  • $x\leqslant 2\cdot y$ (la quantitat de la substància A és com a molt el doble de la de B).

Vèrtexs de la regió de validesa: (Són els punts de tall entre les rectes associades a les restriccions, que a més compleixen totes les inequacions. Vegeu que la restricció $2\cdot x+2\cdot y\leqslant 20$ no aporta informació rellevant, és a dir, no delimita la regió de validesa.)

  • $(0,4)$ on tallen les restriccions $x\geqslant 0$ i $8x+4y\geqslant 16$.

  • $(0,5)$ on tallen les restriccions $x\geqslant 0$ i $x+y\leqslant 5$.

  • $(\dfrac{10}{3},\dfrac{5}{3})$ on tallen les restriccions $x+y\leqslant 5$ i $x\leqslant 2\cdot y$.

  • $(\dfrac{8}{5},\dfrac{4}{5})$ on tallen les restriccions $8x+4y\geqslant 16$ i $x\leqslant 2\cdot y$.

Valor de la funció objectiu en els vèrtexs de la zona de validesa:

  • $C(0,4)=20\cdot 0+100\cdot 4=400$
  • $C(0,5)=20\cdot 0+100\cdot 5=500$
  • $C(\dfrac{10}{3},\dfrac{5}{3})=20\cdot \dfrac{10}{3}+100\cdot \dfrac{5}{3}=\dfrac{700}{3}\approx 233.33$
  • $C(\dfrac{8}{5},\dfrac{4}{5})=20\cdot \dfrac{8}{5}+100\cdot \dfrac{4}{5}=\dfrac{560}{5}=112$

La funció cost pren el seu valor mínim ($112$ €) en el punt $ (\dfrac{8}{5},\dfrac{4}{5}) $, és a dir, en comprar $\dfrac{8}{5}$ de quilo de la substància A i $\dfrac{4}{5}$ de quilo de la B.

Per aconseguir minimitzar el cost, atenint-nos a les restriccions del problema, s'han de comprar $\dfrac{8}{5}$ de quilo de la substància A i $\dfrac{4}{5}$ de quilo de la B. En aquest cas el cost seria de $112$ €.

Tornar al tema