Maximización y minimización

Variables del problema:

$x$: kilos de la sustancia A.

$y$: kilos de la sustancia B.

Función objetivo:

Se ha de minimizar el coste (coste $=$ (precio del kilo de la sustancia A) $\times$ (precio del kilo de A) $+$ (precio del kilo de la sustancia B) $\times$ (precio del kilo de B)): $$C(x,y)=20\cdot x+100\cdot y$$

Restricciones:

• $x\geqslant 0$, $y\geqslant 0$ (el número de kilos no puede ser negativo).

• $8x+4y\geqslant 16$ (como mínimo tenemos que conseguir $16$ g de la primera sustancia).

• $x+y\leqslant 5$ (como máximo tenemos que obtener $5$ g de la segunda sustancia).

• $2\cdot x+2\cdot y\leqslant 20$ (como máximo tenemos que obtener $20$ g de la tercera sustancia).

• $x\leqslant 2\cdot y$ (la cantidad de la sustancia A es como mucho el doble de la de B).

Vértices de la región de validez: (Son los puntos de corte entre las rectas asociadas a las restricciones, que además cumplen todas las inecuaciones. Véase que la restricción $2\cdot x+2\cdot y\leqslant 20$ no aporta información relevante, es decir, no delimita la región de validez.)

• $(0,4)$ donde cortan las restricciones $x\geqslant 0$ y $8x+4y\geqslant 16$.

• $(0,5)$ donde cortan las restricciones $x\geqslant 0$ y $x+y\leqslant 5$.

• $(\dfrac{10}{3},\dfrac{5}{3})$ donde cortan las restricciones $x+y\leqslant 5$ y $x\leqslant 2\cdot y$.

• $(\dfrac{8}{5},\dfrac{4}{5})$ donde cortan las restricciones $8x+4y\geqslant 16$ y $x\leqslant 2\cdot y$.

Valor de la función objetivo en los vértices de la zona de validez:

• $C(0,4)=20\cdot 0+100\cdot 4=400$
• $C(0,5)=20\cdot 0+100\cdot 5=500$
• $C(\dfrac{10}{3},\dfrac{5}{3})=20\cdot \dfrac{10}{3}+100\cdot \dfrac{5}{3}=\dfrac{700}{3}\approx 233.33$
• $C(\dfrac{8}{5},\dfrac{4}{5})=20\cdot \dfrac{8}{5}+100\cdot \dfrac{4}{5}=\dfrac{560}{5}=112$

La función coste toma su valor mínimo ($112$ €) en el punto $ (\dfrac{8}{5},\dfrac{4}{5}) $, es decir, al comprar $\dfrac{8}{5}$ de kilo de la sustancia A y $\dfrac{4}{5}$ de kilo de la B.