Teorema de la probabilitat total

Representem per $L =$ "jugar contra el Liverpool", $C =$ "jugar contra el Chelsea".

Tenim tres successos possibles: $G =$ "guanyar", $E =$ "empatar", $P =$ "perdre". Ens pregunten per la probabilitat $P(G\cup E)$.

Representem el problema en un diagrama en arbre. Observem que, encara que l'enunciat no ens dóna totes les dades, podem trobar els que ens falten: si contra el Liverpool hi ha un $0,6$ de probabilitats de guanyar i un $0,15$ d'empatar, llavors ha d'haver-hi un $0,25$ de probabilitats de perdre, ja que només pot passar una de les tres coses, i per tant, s'ha de complir que $0,6 + 0,15 + 0,25 = 1$. Pel mateix motiu, la possibilitat d'empatar contra el Chelsea és de $1 - 0,3-0,4 = 0,3$.

Apliquem el teorema de la probabilitat total. $$ P(G\cup E)=P(L)\cdot P(G/L)+P(L)\cdot P(E/L)+P(C)\cdot P(G/C)+ P(C)\cdot P(E/C)$$

En el nostre cas,

$$ P(G\cup E)=\dfrac{1}{2}\cdot 0,6 + \dfrac{1}{2}\cdot 0,15 + \dfrac{1}{2}\cdot 0,3 + \dfrac{1}{2}\cdot 0,3=0,675$$

També podríem haver resolt el problema calculant la probabilitat de perdre, que ens donaria $0,325$, i llavors calcular la probabilitat de guanyar o empatar fent el complementari.

És a dir, $ P(G\cup E)= 1- P(P)=1-0,325=0,675 $ (ens dóna el mateix).