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Teorema de la probabilidad total
En los sorteos para la Copa de Europa de futbol, nos puede tocar, con la misma probabilidad, contra el Liverpool o contra el Chelsea. Si jugamos contra Liverpool, hay un 60% de probabilidades de ganar, y un 15% de probabilidades de empatar. Si jugamos contra Chelsea, hay un 30% de probabilidades de ganar, y un 40% de probabilidades de perder. ¿Qué probabilidad tenemos de, como mínimo, empatar?
Representamos por $L =$ "jugar contra el Liverpool", $C =$ "jugar contra el Chelsea".
Tenemos tres sucesos posibles: $G =$ "ganar", $E =$ "empatar", $P =$ "perder". Nos preguntan por la probabilidad $P(G\cup E)$.
Representamos el problema en un diagrama en árbol. Observemos que, aunque el enunciado no nos da todos los datos, podemos encontrar los que nos faltan: si contra el Liverpool hay un $0,6$ de probabilidades de ganar, y un $0,15$ de empatar, entonces tiene que haber un $0,25$ dde probabilidades de perder, puesto que sólo puede suceder una de las tres cosas, y por lo tanto, se debe cumplir que $0,6 + 0,15 + 0,25 = 1$. Por el mismo motivo, la posibilidad de empatar contra el Chelsea es de $1 - 0,3-0,4 = 0,3$.
Aplicamos el teorema de la probabilidad total. $$ P(G\cup E)=P(L)\cdot P(G/L)+P(L)\cdot P(E/L)+P(C)\cdot P(G/C)+ P(C)\cdot P(E/C)$$
En nuestro caso,
$$ P(G\cup E)=\dfrac{1}{2}\cdot 0,6 + \dfrac{1}{2}\cdot 0,15 + \dfrac{1}{2}\cdot 0,3 + \dfrac{1}{2}\cdot 0,3=0,675$$
También podríamos haber resuelto el problema calculando la probabilidad de perder, que nos daría $0,325$, y entonces calcular la probabilidad de ganar o empatar haciendo el complementario.
Es decir, $ P(G\cup E)= 1- P(P)=1-0,325=0,675 $ (nos da lo mismo).
La probabilidad es $ P(G\cup E)=0,675$.