Taules de contingència

Es sorteja una entrada per a un parc d'atraccions entre els $80$ membres d'un club. D'aquests, $12$ són rossos, $17$ porten ulleres, i $4$ són rossos i porten ulleres.

  1. Calcula la probabilitat que li toqui l'entrada a algú que no sigui ros i no porti ulleres.

  2. Si a qui li toca és ros, quina és la probabilitat que no porti ulleres?

  1. Primer, vam crear una taula de contingència per a representar les dades. Tenim dos successos, $R =$ "ser ros" i $G =$ "portar ulleres".

Posem en primer lloc les dades de l'enunciat.

  Ulleres Sense ulleres Total $G,\overline{G}$
Ros 4   12
No ros      
Total $R,\overline{R}$ 17   80

Ara l'anem completant. Sabem que hi ha en total $12$ rossos, i tan sols $4$ porten ulleres. Per tant, el nombre de rossos que no porten ulleres serà $12-4 = 8$. A més, en total hi ha $17$ que porten ulleres, i només $4$ són rossos i porten ulleres, per la qual cosa $17-4 = 13$ no són rossos i porten ulleres.

D'altra banda, al club hi ha un total de $80$ persones. Per tant, si $17$ porten ulleres, $1980-1917 = 63$ no porten ulleres. Si $12$ persones són rosses, llavors $80-12 = 68$ persones no ho són.

Introduïm totes aquestes dades a la taula de contingència.

  Ulleres Sense ulleres Total $G,\overline{G}$
Ros 4 8 12
No ros 13   68
Total $R,\overline{R}$ 17 63 80

Finalment, si en total hi ha $63$ persones que no porten ulleres, i $8$ d'aquestes són rosses, llavors $63-8 = 55$ són rosses i sense ulleres.

També podríem haver calculat mirant a l'altra direcció: si en total hi ha $68$ persones que no són rosses, i $13$ d'aquestes porten ulleres, llavors $68-13 = 55$ persones no són rosses i no porten ulleres.

Així doncs, ja tenim la nostra taula de contingència completa.

  Ulleres Sense ulleres Total $G,\overline{G}$
Ros 4 8 12
No ros 13 55 68
Total $R,\overline{R}$ 17 63 80

Amb la taula, ja podem respondre la pregunta.

La probabilitat que ens demanen és $P(\overline{R}\cap\overline{G})=\dfrac{55}{80}$, per la llei de Laplace, ja que hi ha $55$ persones amb aquestes característiques d'entre el total de $80$ (i a totes és igual de probable que els toqui).

  1. El calcularem amb la fórmula de les probabilitats condicionades. Volem calcular $P(R/\overline{G})=\dfrac{P(R\cap\overline{G})}{P(\overline{G})}$. Mirant les dades a la taula, $$P(R\cap\overline{G})=\dfrac{8}{80}$$ i $$P(\overline{G})=\dfrac{63}{80}$$ Per tant $$P(R/\overline{G})=\dfrac{\dfrac{8}{80}}{\dfrac{63}{80}}=\dfrac{8}{63}$$

Si ens fixem, com volem calcular la probabilitat que no porti Ulleres, mirem la columna "sense Ulleres" (vertical). En aquesta columna, $8$ són rossos d'un total de $63$, de manera que la probabilitat és $\dfrac{8}{63}$, de nou.

  1. $P(\overline{R}\cap\overline{G})=\dfrac{55}{80}$

  2. $P(R/\overline{G})=\dfrac{8}{63}$

Tornar al tema