Tablas de contingencia

Se sortea una entrada para un parque de atracciones entre los $80$ miembros de un club. De ellos, $12$ son rubios, $17$ llevan gafas, y $4$ son rubios y llevan gafas.

  1. Calcula la probabilidad de que le toque la entrada a alguien que no sea rubio y no lleve gafas.

  2. Si al que le toca es rubio, ¿cuál es la probabilidad de que no lleve gafas?

  1. Primero, creamos una tabla de contingencia para representar los datos. Tenemos dos sucesos, $R =$"ser rubio" y $G =$"llevar gafas".

Ponemos en primer lugar los datos del enunciado.

  Gafas Sin gafas Total $G,\overline{G}$
Rubio 4   12
No rubio      
Total $R,\overline{R}$ 17   80

Ahora la vamos completando. Sabemos que hay en total $12$ rubios, y tan sólo $4$ llevan gafas. Por lo tanto, el número de rubios que no llevan gafas será $12-4=8$. Además, en total hay $17$ que llevan gafas, y tan sólo $4$ son rubios y llevan gafas, por lo que $17-4 = 13$ no son rubios y llevan gafas.

Por otro lado, en el club hay un total de $80$ personas. Por lo tanto, si $17$ llevan gafas, $80-17=63$ no llevan gafas. Si $12$ personas son rubias, entonces $80-12=68$ personas no lo son.

Introducimos todos estos datos en la tabla de contingencia.

  Gafas Sin gafas Total $G,\overline{G}$
Rubio 4 8 12
No rubio 13   68
Total $R,\overline{R}$ 17 63 80

Finalmente, si en total hay $63$ personas que no llevan gafas, y $8$ de éstas son rubias, entonces $63-8=55$ son rubias y sin gafas.

También podríamos haberlo calculado mirando en la otra dirección: si en total hay $68$ personas que no son rubias, y $13$ de éstas llevan gafas, entonces $68-13=55$ personas no son rubias y no llevan gafas.

Así pues, ya tenemos nuestra tabla de contingencia completa.

  Gafas Sin gafas Total $G,\overline{G}$
Rubio 4 8 12
No rubio 13 55 68
Total $R,\overline{R}$ 17 63 80

Con la tabla, ya podemos responder la pregunta.

La probabilidad que nos piden es $P(\overline{R}\cap\overline{G})=\dfrac{55}{80}$, por la ley de Laplace, ya que hay $55$ personas con estas características de entre el total de $80$ (y a todas es igual de probable que les toque).

  1. Lo calcularemos con la fórmula de las probabilidades condicionadas. Queremos calcular $P(R/\overline{G})=\dfrac{P(R\cap\overline{G})}{P(\overline{G})}$. Mirando los datos en la tabla, $$P(R\cap\overline{G})=\dfrac{8}{80}$$ y $$P(\overline{G})=\dfrac{63}{80}$$ Por lo tanto $$P(R/\overline{G})=\dfrac{\dfrac{8}{80}}{\dfrac{63}{80}}=\dfrac{8}{63}$$

Si nos fijamos, como queremos calcular la probabilidad de que no lleve gafas, miramos la columna "sin gafas" (vertical). En esta columna, $8$ son rubios de un total de $63$, por lo que la probabilidad es $\dfrac{8}{63}$, de nuevo.

  1. $P(\overline{R}\cap\overline{G})=\dfrac{55}{80}$

  2. $P(R/\overline{G})=\dfrac{8}{63}$

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