Regla de Laplace

Primer hem de descriure el nostre espai mostral. A cada dau pot sortir un número entre $1$ i $6$, de manera que tots els resultats possibles són $$\Omega=\lbrace 1-1,1-2,1-3,1-4,1-5,1-6,2-1,2-2,\ldots \rbrace$$

Notem que hi ha $36$ elements: el podem veure pensant que en el primer donat pot sortir un número entre $1$ i $6$, i en el segon el mateix, pel que en total hi ha $6\cdot6=36$ maneres possibles.

Tots els casos són equiprobables, i per tant la probabilitat de cada succés elemental és de $\dfrac{1}{36}$, per la regla de Laplace.

a) Volem veure quins són els resultats favorables a $A =$ "treure més d'un $8$". Els resultats que el compleixen són tots els que sumen $9$, els que sumen $10$, els que sumen $11$, i els que sumen $12$. No hi pot haver resultats més alts, ja que la tirada màxima és de sis en els dos daus, és a dir, $6+6=12$.

Així doncs, estem dient que $A=A_1 \cup A_2 \cup A_3 \cup A_4$, i hem de pensar quins successos compleixen el següent:

$A_1=$"sumar $9$"$=\lbrace 3-6,4-5,5-4,6-3 \rbrace$, és a dir, hi ha quatre casos favorables.

$A_2=$"sumar $10$"$=\lbrace 4-6,5-5,6-4 \rbrace$, tres casos favorables.

$A_3=$"sumar $11$"$=\lbrace 5-6,6-5 \rbrace$, dos casos favorables.

$A_4=$"sumar $12$"$=\lbrace 6-6 \rbrace$, un cas favorable.

Com que tots els successos són equiprobables, podem aplicar la regla de Laplace,

$P(A_1)=\dfrac{4}{36}$, $P(A_2)=\dfrac{3}{36}$, $P(A_3)=\dfrac{2}{36}$, $P(A_4)=\dfrac{1}{36}$.

Per tant $$P(A)=P(A_1 \cup A_2 \cup A_3 \cup A_4)=$$ $$=\dfrac{4}{36}+\dfrac{3}{36}+\dfrac{2}{36}+\dfrac{1}{36}=\dfrac{11}{36}$$

b) Per calcular $P(B)$, tornem a fer com abans. Sigui

$B_1=$"sumar $1$", $B_2=$"sumar $2$", $B_3=$"sumar $3$".

Llavors, els casos possibles que compleixen cada un d'aquests successos són:

$B_1=\emptyset$, ja que és un succés impossible. La tirada més petita que podríem treure és un $2$, és a dir, un $1$ en els dos daus, $1+1=2$.

$$B_2=\lbrace 1-1 \rbrace$$

$$B_3=\lbrace 1-2,2-1 \rbrace$$

Per tant $$P(B)=P(B_1 \cup B_2 \cup B_3)=$$ $$=0+\dfrac{1}{36}+\dfrac{2}{36}=\dfrac{3}{36}=\dfrac{1}{12}.$$

Com $B_1$ és un succés impossible, no té cap resultat favorable, i per tant, per la regla de Laplace, la seva probabilitat és $P(B_1)=\dfrac{0}{36}=0$.

c) En aquest cas, podem veure quins són tots els esdeveniments que compleixen $C$, però és un mètode llarg. Podem resoldre més fàcilment si observem que $C=A \cup B$.

Podem calcular $$P(C)=P(A \cup B)=P(A)+P(B)=\dfrac{11}{36}+\dfrac{1}{12}=\dfrac{14}{36}=\dfrac{7}{18}.$$