Regla de Laplace

Primero tenemos que describir nuestro espacio muestral. En cada dado puede salir un número entre $1$ y $6$, por lo que todos los resultados posibles son $$\Omega=\lbrace 1-1,1-2,1-3,1-4,1-5,1-6,2-1,2-2,\ldots \rbrace$$

Notemos que habría $36$ elementos: lo podemos ver pensando que en el primer dado puede salir un número entre $1$ y $6$, y en el segundo lo mismo, por lo que en total hay $6\cdot6=36$ maneras posibles.

Todos los casos son equiprobables, y por lo tanto la probabilidad de cada suceso elemental es de $\dfrac{1}{36}$, por la regla de Laplace.

a) Queremos ver cuáles son los resultados favorables a $A =$ "sacar más de un $8$". Los resultados que lo cumplen son todos los que suman $9$, los que suman $10$, los que suman $11$, y los que suman $12$.

No puede haber resultados más altos, puesto que la tirada máxima es de seis en los dos dados, es decir, $6+6=12$.

Así pues, estamos diciendo que $A=A_1 \cup A_2 \cup A_3 \cup A_4$, y tenemos que pensar qué sucesos cumplen lo siguiente:

$A_1=$"sumar $9$"$=\lbrace 3-6,4-5,5-4,6-3 \rbrace$, es decir, hay cuatro casos favorables.

$A_2=$"sumar $10$"$=\lbrace 4-6,5-5,6-4 \rbrace$, tres casos favorables.

$A_3=$"sumar $11$"$=\lbrace 5-6,6-5 \rbrace$, dos casos favorables.

$A_4=$"sumar $12$"$=\lbrace 6-6 \rbrace$, un caso favorable.

Como todos los sucesos son equiprobables, podemos aplicar la regla de Laplace,

$P(A_1)=\dfrac{4}{36}$, $P(A_2)=\dfrac{3}{36}$, $P(A_3)=\dfrac{2}{36}$, $P(A_4)=\dfrac{1}{36}$.

Por lo tanto $$P(A)=P(A_1 \cup A_2 \cup A_3 \cup A_4)=$$ $$=\dfrac{4}{36}+\dfrac{3}{36}+\dfrac{2}{36}+\dfrac{1}{36}=\dfrac{11}{36}$$

b) Para calcular $P(B)$, volvemos a hacer como antes. Sea

$B_1=$"sumar $1$", $B_2=$"sumar $2$", $B_3=$"sumar $3$".

Entonces, los casos posibles que cumplen cada uno de estos sucesos son:

$B_1=\emptyset$, ya que es un suceso imposible. La menor tirada que podríamos sacar es $2$, es decir un uno en los dos dados, $1+1=2$.

$$B_2=\lbrace 1-1 \rbrace$$

$$B_3=\lbrace 1-2,2-1 \rbrace$$

Por lo tanto, $$P(B)=P(B_1 \cup B_2 \cup B_3)=$$ $$=0+\dfrac{1}{36}+\dfrac{2}{36}=\dfrac{3}{36}=\dfrac{1}{12}.$$

Como $B_1$ es un suceso imposible, no tiene ningún resultado favorable, y por lo tanto, por la regla de Laplace, su probabilidad es $P(B_1)=\dfrac{0}{36}=0$.

c) En este caso, podemos ver cuáles son todos los sucesos que cumplen $C$, pero es un método largo. Podemos resolverlo más fácilmente si observamos que $C=A \cup B$.

Podemos calcular $$P(C)=P(A \cup B)=P(A)+P(B)=\dfrac{11}{36}+\dfrac{1}{12}=\dfrac{14}{36}=\dfrac{7}{18}.$$