- Inicio
- Probabilitat
- Operacions entre successos: unió, intersecció, diferència i complementari
- Ejercicios
Operacions entre successos: unió, intersecció, diferència i complementari
En una urna tenim boles blanques $(B)$, vermelles $(R)$, grogues $(G)$ i negres $(N)$.Extraiem una bola de l'urna, i mirem de quin color és.
Considera els successos següents:
$A_1=$"Treure una bola blanca o vermella".
$A_2=$"Treure una bola que no sigui groga".
$A_3=$"Treure una bola negra".
Descriu per quins resultats està format cada un dels successos.
Considera ara els següents successos: $A_1\cup A_3$, $A_2-A_1$, $\overline{A_1}\cap A_3$.
Descriu per quins resultats està format cada un dels successos.
En primer lloc, hem de determinar quin és l'espai mostral. Ja sabem que els resultats possibles són treure una bola blanca $(B)$, treure una bola vermella $(R)$, treure una bola groga $(G)$ i treure una bola negra $(N)$. Així doncs, $\Omega=\lbrace B,R,G,N \rbrace$.
El succés $A_1=$"Treure una bola blanca o vermella" està format per $A_1= \lbrace B, R \rbrace$. Ho podem veure directament, o bé considerant que $A_1$ és la unió de "treure una bola blanca", $\lbrace B \rbrace$, i "treure una bola vermella", $\lbrace R \rbrace$.
El succés $A_2 =$"Treure una bola que no sigui groga" és el contrari del succés "treure una bola groga"" $= \lbrace G \rbrace$. És a dir, $A_2=\overline{G}$. Així doncs, sabem que podem trobar $A_2$ fent $A_2=\Omega-\lbrace G \rbrace=\lbrace B,R,G,N \rbrace-\lbrace G \rbrace=\lbrace B,R,G \rbrace$.
El succés $A_3=$"Treure una bola negra"$=\lbrace N \rbrace$.
Considerem ara les operacions entre successos que se'ns plantegen:
$A_1\cup A_3 =$"Treure una bola blanca o vermella, o treure una bola negra" $= \lbrace B,R \rbrace \cup \lbrace N \rbrace=\lbrace B,R,N \rbrace $.
$A_2-A_1$ és la diferència de $A_2$ i $A_1$. Està format per tots els successos que estan en $A_2$, però no en $A_1$. Així doncs, $A_2-A_1=\lbrace B,R,G \rbrace-\lbrace B,R \rbrace=\lbrace G \rbrace$.
Per calcular $\overline{A_1}\cap A_3$, primer hem de calcular què és $\overline{A_1}$. Hem vist que el complementari de $A_1$ es pot trobar fent $\overline{A_1}=\Omega - A_1 = \lbrace B,R,G,N \rbrace - \lbrace B,R \rbrace = \lbrace G,N \rbrace.$
Ara podem calcular el succés $\overline{A_1} \cap A_3$, format per tots els esdeveniments que compleixen $\overline{A_1}$ i $A_3$. El trobem fent $\overline{A_1}\cap A_3= \lbrace G,N \rbrace \cap \lbrace N \rbrace = \lbrace N \rbrace$.
$A_1=\lbrace B,R \rbrace$, $A_2=\lbrace B,R,G \rbrace$, $A_3=\lbrace N \rbrace$.
$A_1 \cup A_3 = \lbrace B,R,N \rbrace$, $A_2-A_1=\lbrace G \rbrace$, $\overline{A_1}\cap A_3=\lbrace N \rbrace$.