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Operaciones entre sucesos: unión, intersección, diferencia y complementario
En una urna tenemos bolas blancas $(B)$, rojas $(R)$, verdes $(V)$ y negras $(N)$. Extraemos una bola de la urna, y miramos de qué color es.
Considera los sucesos siguientes:
$A_1=$"sacar una bola blanca o roja".
$A_2=$"sacar una bola que no sea verde".
$A_3=$"sacar una bola negra".
Describe por qué resultados está formado cada uno de los sucesos.
Considera ahora los siguientes sucesos: $A_1\cup A_3$, $A_2-A_1$, $\overline{A_1}\cap A_3$.
Describe por qué resultados está formado cada uno de los sucesos.
En primer lugar, tenemos que determinar cuál es el espacio muestral. Ya sabemos que los resultados posibles son sacar una bola blanca $(B)$, sacar una bola roja $(R)$, sacar una bola verde $(V)$ y sacar una bola negra $(N)$. Así pues, $\Omega=\lbrace B,R,V,N \rbrace$.
El suceso $A_1=$"sacar una bola blanca o roja" está formado por $A_1= \lbrace B, R \rbrace$. Lo podemos ver directamente, o bien considerando que $A_1$ es la unión de "sacar una bola blanca", $\lbrace B \rbrace$, y "sacar una bola roja", $\lbrace R \rbrace$.
El suceso $A_2 =$"sacar una bola que no sea verde" es el contrario del suceso "sacar una bola verde" $= \lbrace V \rbrace$. Es decir, $A_2=\overline{V}$. Así pues, sabemos que podemos encontrar $A_2$ haciendo $A_2=\Omega-\lbrace V \rbrace=\lbrace B,R,V,N \rbrace-\lbrace V \rbrace=\lbrace B,R,V \rbrace$.
El suceso $A_3=$"sacar una bola negra"$=\lbrace N \rbrace$.
Consideremos ahora las operaciones entre sucesos que se nos plantean:
$A_1\cup A_3 =$"sacar una bola blanca o roja, o sacar una bola negra" $= \lbrace B,R \rbrace \cup \lbrace N \rbrace=\lbrace B,R,N \rbrace $.
$A_2-A_1$ es la diferencia de $A_2$ y $A_1$. Está formado por todos los sucesos que están en $A_2$, pero no en $A_1$. Así pues, $A_2-A_1=\lbrace B,R,V \rbrace-\lbrace B,R \rbrace=\lbrace V \rbrace$.
Para calcular $\overline{A_1}\cap A_3$, primero tenemos que calcular qué es $\overline{A_1}$. Hemos visto que el complementario de $A_1$ se puede encontrar haciendo $\overline{A_1}=\Omega - A_1 = \lbrace B,R,V,N \rbrace - \lbrace B,R \rbrace = \lbrace V,N \rbrace.$
Ahora podemos calcular el suceso $\overline{A_1} \cap A_3$, formado por todos los sucesos que cumplen $\overline{A_1}$ y $A_3$. Lo encontramos haciendo $\overline{A_1}\cap A_3= \lbrace V,N \rbrace \cap \lbrace N \rbrace = \lbrace N \rbrace$.
$A_1=\lbrace B,R \rbrace$, $A_2=\lbrace B,R,V \rbrace$, $A_3=\lbrace N \rbrace$.
$A_1 \cup A_3 = \lbrace B,R,N \rbrace$, $A_2-A_1=\lbrace V \rbrace$, $\overline{A_1}\cap A_3=\lbrace N \rbrace$.