Definició de probabilitat, espai mostral i succés segur i impossible
Tenim una urna amb catorze boles: set boles vermelles, numerades de l'$1$ al $7$, tres grogues, numerades del $8$ al $10$, i quatre blaves, numerades del $11$ al $14$. El nostre experiment consisteix en treure una bola i observar el seu número i el seu color.
- Determina l'espai mostral.
- Considera els successos $A =$"treure un nombre major o igual que $9$", $B =$"treure un nombre parell". Defineix quins successos elementals formen $A$ i $B$.
- Defineix quins successos elementals formen els successos $C =$ "treure una bola groga o blava", $D =$"treure una bola blava o amb número múltiple de $3$".
- Defineix quins successos elementals formen els successos $E =$ "treure una bola vermella i amb número menor que $4$", $F =$"treure una bola groga i amb número més gran que $11$".
L'espai mostral és el conjunt de tots els resultats possibles. En el nostre cas, tenim $$\Omega=\lbrace R1,R2,R3,R4,R5,R6,R7,A8,A9,A10,V11,V12,V13,V14 \rbrace$$ on $R$ indica que la bola és vermella, $A$ que és groga, i $V$ que és blava.
Els esdeveniments que ens interessen són tots els successos elementals que tinguin un nombre major o igual que $9$. Per tant, $$A=\lbrace A9,A10,V11,V12,V13,V14 \rbrace$$ En el segon cas, només ens interessen els que tenen nombre parell. És a dir, $$B=\lbrace R2,R4,R6,A8,A10,V12,V14 \rbrace$$
El nostre succés el formen tots els successos elementals que tenen una bola groga, o bé una bola blava. Els que tenen bola groga són $\lbrace A8,A9,A10 \rbrace$, i els que tenen bola blava són $\lbrace V11, V12, V13, V14 \rbrace$.
Per tant, el nostre succés està format per $C=\lbrace A8,A9,A10,V11,V12,V13,V14 \rbrace$.
Ara considerem el succés $D$. Els que tenen bola blava són $\lbrace V11,V12,V13,V14 \rbrace$, i els múltiples de $3$, entre el número $1$ i $14$, són: $3,6,9,12$. Per tant, les boles que ens interessen són $\lbrace R3,R6,A9,V12 \rbrace$. Així doncs, tenim que $D=\lbrace R3,R6,A9,V11,V12,V13,V14 \rbrace$.
Si ens n'adonem, la bola $V12$ en realitat compleix les dues condicions: és blava i a més el seu nombre és múltiple de $3$. Això no és cap problema, cal escriure en $D$ els resultats que compleixen les condicions, i $V12$ les compleix, ja que compleix com a mínim una de les dues condicions.
- Tenim $8$ boles vermelles, que són $\lbrace R1,R2,R3,R4,R5,R6,R7,R8 \rbrace$. Entre elles, les que tenen nombre menor que quatre són $E=\lbrace R1,R2,R3 \rbrace$. També ho podríem haver fet al revés: primer pensem quines són les boles que tenen nombre menor que quatre (en el nostre cas, $\lbrace R1,R2,R3 \rbrace$), i com d'elles, totes són vermelles, el nostre succés torna a ser $E = \lbrace R1, R2, R3 \rbrace$.
Podem començar considerant les boles que tenim grogues: $\lbrace A8, A9, A10 \rbrace$. Entre elles, no hi ha cap que tingui nombre més gran que $11$. Per tant, no hi ha cap esdeveniment elemental que compleixi la condició, és a dir, $F=\emptyset$. En altres paraules, $F$ és un succés impossible, mai no es pot complir.
- $\Omega=\lbrace R1,R2,R3,R4,R5,R6,R7,A8,A9,A10,V11,V12,V13,V14 \rbrace$.
- $A=\lbrace A9,A10,V11,V12,V13,V14 \rbrace$, $B=\lbrace R2,R4,R6,A8,A10,V12,V14 \rbrace$.
- $C=\lbrace A8,A9,A10,V11,V12,V13,V14 \rbrace$, $D=\lbrace R3,R6,A9,V11,V12,V13,V14 \rbrace$.
- $E=\lbrace R1,R2,R3 \rbrace$, $F=\emptyset$.