Definición de probabilidad, espacio muestral y suceso seguro e imposible

Tenemos una urna con catorce bolas: siete bolas rojas, numeradas del $1$ al $7$, tres amarillas, numeradas del $8$ al $10$, y cuatro violetas, numeradas del $11$ al $14$. Nuestro experimento consiste en sacar una bola y observar su número y su color.

  1. Determina el espacio muestral.
  2. Considera los sucesos $A =$"sacar un número mayor o igual que $9$" , $B =$"sacar un número par". Define qué sucesos elementales forman $A$ y $B$.
  3. Define qué sucesos elementales forman los sucesos $C=$"sacar una bola amarilla o violeta", $D=$"sacar una bola violeta o con número múltiplo de $3$".
  4. Define qué sucesos elementales forman los sucesos $E=$"sacar una bola roja y con número menor que $4$", $F=$"sacar una bola amarilla y con número mayor que $11$".

  1. El espacio muestral es el conjunto de todos los resultados posibles. En nuestro caso, tenemos $$\Omega=\lbrace R1,R2,R3,R4,R5,R6,R7,A8,A9,A10,V11,V12,V13,V14 \rbrace$$ donde $R$ indica que la bola es roja, $A$ que es amarilla, y $V$ que es violeta.

  2. Los sucesos que nos interesan son todos los sucesos elementales que tengan un número mayor o igual que $9$. Por lo tanto, $$A=\lbrace A9,A10,V11,V12,V13,V14 \rbrace$$ En el segundo caso, tan sólo nos interesan los que tienen número par. Es decir, $$B=\lbrace R2,R4,R6,A8,A10,V12,V14 \rbrace$$

  3. Nuestro suceso lo forman todos los sucesos elementales que tienen una bola amarilla, o bien una bola violeta. Los que tienen bola amarilla son $\lbrace A8,A9,A10 \rbrace$, y los que tienen bola violeta son $\lbrace V11, V12, V13, V14 \rbrace$.

Por lo tanto, nuestro suceso está formado por $C=\lbrace A8,A9,A10,V11,V12,V13,V14 \rbrace$.

Ahora consideremos el suceso $D$. Los que tienen bola violeta son $\lbrace V11,V12,V13,V14 \rbrace$, y los múltiplos de $3$, entre el número $1$ y $14$, son: $3,6,9,12$. Por lo tanto, las bolas que nos interesan son $\lbrace R3,R6,A9,V12 \rbrace$. Así pues, tenemos que $D=\lbrace R3,R6,A9,V11,V12,V13,V14 \rbrace$.

Si nos damos cuenta, la bola $V12$ en realidad cumple las dos condiciones: es violeta y además su número es múltiplo de $3$. Esto no es ningún problema, debemos escribir en $D$ los resultados que cumplen las condiciones, y $V12$ las cumple, ya que cumple como mínimo una de las dos condiciones.

  1. Tenemos $8$ bolas rojas, que son $\lbrace R1,R2,R3,R4,R5,R6,R7,R8 \rbrace$. De entre ellas, las que tienen número menor que cuatro son $E=\lbrace R1,R2,R3 \rbrace$. También lo podríamos haber hecho al revés: primero pensamos cuáles son las bolas que tienen número menor que cuatro (en nuestro caso, $\lbrace R1,R2,R3 \rbrace$), y como de ellas, todas son rojas, nuestro suceso vuelve a ser $E = \lbrace R1, R2, R3 \rbrace$.

Podemos empezar considerando las bolas que tenemos amarillas: $\lbrace A8, A9, A10 \rbrace$. De entre ellas, no hay ninguna que tenga número mayor que $11$. Por lo tanto, no hay ningún suceso elemental que cumpla la condición, es decir, $F=\emptyset$. En otras palabras, $F$ es un suceso imposible, nunca se puede cumplir.

  1. $\Omega=\lbrace R1,R2,R3,R4,R5,R6,R7,A8,A9,A10,V11,V12,V13,V14 \rbrace$.
  2. $A=\lbrace A9,A10,V11,V12,V13,V14 \rbrace$, $B=\lbrace R2,R4,R6,A8,A10,V12,V14 \rbrace$.
  3. $C=\lbrace A8,A9,A10,V11,V12,V13,V14 \rbrace$, $D=\lbrace R3,R6,A9,V11,V12,V13,V14 \rbrace$.
  4. $E=\lbrace R1,R2,R3 \rbrace$, $F=\emptyset$.
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