Definició (axiomàtica) de la probabilitat i les seves propietats
Tenim una urna amb set boles, numerades de l'$1$ al $7$. El nostre experiment consisteix en treure una bola i observar quin nombre té.
a) Determina l'espai mostral, i els successos $A =$"treure un nombre major o igual que $4$", $B =$"treure un nombre parell", $C =$"treure un múltiple de $3$", $D =$"treure un nombre més gran que $8$", és a dir, expressa $A, B, C$ i $D$ com a conjunt de resultats possibles.
b) Calcula $P(A), P(C), P(D), P(\overline{C}), P(\overline{D}), P(A\cup\overline{C}), P(A\cap\overline{C})$
a)
L'espai mostral és el conjunt de tots els resultats possibles. En el nostre, tenim set boles numerades, de manera que $\Omega=\{1,2,3,4,5,6,7\}$, és a dir, treure la bola $1$, treure la bola $2$, etc.
Només podem treure boles entre $1$ i $7$. Per tant, $A= \{4, 5, 6, 7\}$, que són les boles amb nombre major o igual que $4$.
$B= \{2, 4, 6\}$, ja que correspon amb els nombres parells que hi ha entre $1$ i $7$.
$C= \{3, 6\}$, els múltiples de $3$ entre $1$ i $7$.
$D=\emptyset$, és a dir, $D$ és un succés impossible, ja que només tenim boles entre $1$ i $7$, i per tant, no podem treure mai una bola amb nombres més gran que $8$.
b)
Utilitzarem la regla de Laplace en els primers casos, i després raons per les propietats que coneixem.
$P(A)=\dfrac{4}{7}$, ja que hi ha quatre casos favorables d'un total de set, i tots són equiprobables.
$P(C)=\dfrac{2}{7}$, com abans, aplicant la regla de Laplace.
$P(D)=0$, ja que és el succés impossible.
Per calcular $P(\overline{C})$, com ja tenim $P(C)$, ho fem segons $P(\overline{C})=1-P(C)=1-\dfrac{2}{7}=\dfrac{5}{7}$.
Amb la mateixa fórmula, $P(\overline{D})= 1 - P(D) = 1 - 0 = 1$. També podríem calcular raonant que el contrari del succés impossible és el succés segur, que té probabilitat 1 per l'axioma 2.
Per calcular $P(A\cup\overline{C})$, hem de calcular el succés $A\cup\overline{C}=\{4,5,6,7\}\cup\{1,2,4,5,7\}=\{1,2,4,5,6,7\}$. Per la regla de Laplace, $P(A\cup\overline{C})=\dfrac{6}{7}$, ja que hi ha $6$ casos favorables d'un total de $7$ successos elementals.
Finalment, podem calcular $P(A\cap\overline{C})$ utilitzant la fórmula $P(A\cup\overline{C})=P(A)+P(\overline{C})-P(A\cap\overline{C})$.
Substituint pels valors que coneixem, $\dfrac{6}{7}=\dfrac{4}{7}+\dfrac{5}{7}-P(A\cap\overline{C})$. Per tant $$P(A\cap\overline{C})=\dfrac{4}{7}+\dfrac{5}{7}-\dfrac{6}{7}=\dfrac{3}{7}$$
a) $\Omega=\{1,2,3,4,5,6,7\}$, $A= \{4, 5, 6, 7\}$, $B= \{2, 4, 6\}$, $C= \{3, 6\}$, $D=\emptyset$.
b) $P(A)=\dfrac{4}{7}$, $P(C)=\dfrac{2}{7}$, $P(D)=0$, $P(\overline{C})=\dfrac{5}{7}$, $P(\overline{D})= 1$, $P(A\cup\overline{C})=\dfrac{6}{7}$, $P(A\cap\overline{C})=\dfrac{3}{7}$.