Definición (axiomática) de la probabilidad y sus propiedades
Tenemos una urna con siete bolas, numeradas del $1$ al $7$. Nuestro experimento consiste en sacar una bola y observar qué número tiene.
a) Determina el espacio muestral, y los sucesos $A =$ "sacar un número mayor o igual que $4$" , $B =$ "sacar un número par" , $C =$ "sacar un múltiplo de $3$", $D =$ "sacar un número mayor que $8$", es decir, expresa $A, B, C$ y $D$ como conjunto de resultados posibles.
b) Calcula $P(A), P(C), P(D), P(\overline{C}), P(\overline{D}), P(A\cup\overline{C}), P(A\cap\overline{C})$
a)
El espacio muestral es el conjunto de todos los resultados posibles. En nuestro, tenemos siete bolas numeradas, por lo que $\Omega=\{1,2,3,4,5,6,7\}$, es decir, sacar la bola $1$, sacar la bola $2$, etc.
Sólo podemos sacar bolas entre $1$ y $7$. Por lo tanto, $A= \{4, 5, 6, 7\}$, que son las bolas con número mayor o igual que $4$.
$B= \{2, 4, 6\}$, ya que corresponde con los números pares que hay entre $1$ y $7$.
$C= \{3, 6\}$, los múltiplos de $3$ entre $1$ y $7$.
$D=\emptyset$, es decir, $D$ es un suceso imposible, puesto que sólo tenemos bolas entre $1$ y $7$, y por tanto, no podemos sacar nunca una bola con número mayor que $8$.
b)
Utilizaremos la regla de Laplace en los primeros casos, y luego razonaremos por las propiedades que conocemos.
$P(A)=\dfrac{4}{7}$, ya que hay cuatro casos favorables de un total de siete, y todos son equiprobables.
$P(C)=\dfrac{2}{7}$, como antes, aplicando la regla de Laplace.
$P(D)=0$, ya que es el suceso imposible.
Para calcular $P(\overline{C})$, como ya tenemos $P(C)$, lo hacemos según $P(\overline{C})=1-P(C)=1-\dfrac{2}{7}=\dfrac{5}{7}$.
Con la misma fórmula, $P(\overline{D})= 1 - P(D) = 1 - 0 = 1$. También podríamos calcularla razonando que el contrario del suceso imposible es el suceso seguro, que tiene probabilidad 1 por el axioma 2.
Para calcular $P(A\cup\overline{C})$, debemos calcular el suceso $A\cup\overline{C}=\{4,5,6,7\}\cup\{1,2,4,5,7\}=\{1,2,4,5,6,7\}$. Por la regla de Laplace, $P(A\cup\overline{C})=\dfrac{6}{7}$, ya que hay $6$ casos favorables de un total de $7$ sucesos elementales.
Por último, podemos calcular $P(A\cap\overline{C})$ utilizando la fórmula $P(A\cup\overline{C})=P(A)+P(\overline{C})-P(A\cap\overline{C})$.
Sustituyendo por los valores que conocemos, $\dfrac{6}{7}=\dfrac{4}{7}+\dfrac{5}{7}-P(A\cap\overline{C})$. Por lo tanto, $$P(A\cap\overline{C})=\dfrac{4}{7}+\dfrac{5}{7}-\dfrac{6}{7}=\dfrac{3}{7}$$
a) $\Omega=\{1,2,3,4,5,6,7\}$, $A= \{4, 5, 6, 7\}$, $B= \{2, 4, 6\}$, $C= \{3, 6\}$, $D=\emptyset$.
b) $P(A)=\dfrac{4}{7}$, $P(C)=\dfrac{2}{7}$, $P(D)=0$, $P(\overline{C})=\dfrac{5}{7}$, $P(\overline{D})= 1$, $P(A\cup\overline{C})=\dfrac{6}{7}$, $P(A\cap\overline{C})=\dfrac{3}{7}$.