Teorema del residu i teorema del factor
Comprovar, sense trobar explícitament les arrels, quins d'aquests valors són arrels dels polinomis següents:
valors: $1,-1,2,-2$
polinomis:
$$p(x)=x^2-2x+1$$
$$q(x)=x^3-2x^2-4x+8$$
$$r(x)=x^2+1$$
Una condició necessària i suficient per a que un valor $a$ sigui arrel d'un polinomi $p(x)$, és que $p(a)=0$. Llavors, anem provant amb els diferents valors per a cada polinomi:
$$p(1)=1^2-2\cdot1+1=0$$
$$p(-1)=(-1)^2+2\cdot1+1=4$$
$$p(2)=2^2-2\cdot2+1=1$$
$$p(-2)=(-2)^2+2\cdot2+1=9$$
$$q(1)=1^3-2\cdot1^2-4\cdot1+8=3$$
$$q(-1)=(-1)^3-2\cdot(-1)^2-4\cdot(-1)+8=-1-2+4+8=9$$
$$q(2)=2^3-2\cdot2^2-4\cdot2+8=0$$
$$q(-2)=(-2)^3-2\cdot(-2)^2-4\cdot(-2)+8=-8-8+8+8=0$$
$$r(1)=2$$
$$r(-1)=2$$
$$r(2)=5$$
$$r(-2)=5$$
$p(x)$ té $1$ com arrel.
$q(x)$ té $2$ i $-2$ com arrels.
$r(x)$ no té cap dels valors de la llista com a arrel. De fet, no té cap valor racional com a arrel, de manera que és un polinomi irreductible.