Teorema del residu i teorema del factor

Teorema del residu

El residu de dividir un polinomi $p(x)$ per un altre de la forma $x-a$, coincideix amb el valor de $p(a)$.

Fixem-nos que la divisió especificada compleix les hipòtesis de la tècnica de Ruffini.

Calcular el residu de la divisió $\dfrac{p(x)}{q(x)}$, sent $p(x)=x^4+3x^2-x+4$ i $q(x)=x+2$.

Apliquem el teorema del residu. Noteu que en aquest cas $a=-2$. $$p(-2)=(-2)^4+3\cdot(-2)^2-(-2)+4=16+3\cdot4+2+4=34$$

Per comprovar-ho utilitzem Ruffini:

	$1$	$0$	$3$	$-1$	$4$
$-2$		$-2$	$4$	$-14$	$30$
	$1$	$-2$	$7$	$-15$	$34$

I efectivament, coincideix amb la solució anterior.

Calcular el residu de la divisió $\dfrac{p(x)}{q(x)}$, sent $p(x)=x^5-2x^2+x+3$ i $q(x)=x+1$.

Apliquem el teorema del residu. Noteu que en aquest cas $a=-1$. $$p(-1)=(-1)^5-2\cdot(-1)^2+(-1)+3=-1-2-1+3=-1$$

Per comprovar-ho utilitzem Ruffini:

	$1$	$0$	$0$	$-2$	$1$	$3$
$-1$		$-1$	$1$	$-1$	$3$	$-4$
	$1$	$-1$	$1$	$-3$	$4$	$-1$

I efectivament, coincideix amb la solució anterior.

Teorema del factor

El seu enunciat és el següent:

Un polinomi $p(x)$ és divisible per un altre de la forma $x-a$ si, i només si, $p(a)=0$. En aquest cas, direm que $a$ és una arrel o zero del polinomi $p(x)$.

Calcular el residu de la divisió $\dfrac{p(x)}{q(x)}$, sent $p(x)=x^5+2x^4-3x^3+x^2-1$ i $q(x)=x-1$.

Apliquem el teorema del residu: $$p(1)=1^5+2\cdot1^4-3\cdot1^3+1^2-1=0$$

Comprovem el resultat per Ruffini:

	$1$	$2$	$-3$	$1$	$0$	$-1$
$1$		$1$	$3$	$0$	$1$	$2$
	$1$	$3$	$0$	$1$	$1$	$0$

Efectivament, el residu és $0$. Així doncs, pel teorema del factor, la divisió de $p(x)$ per $q(x)$ és exacta.