Teorema del resto y teorema del factor

Teorema del resto

El resto de dividir un polinomio $p(x)$ por otro de la forma $x-a$, coincide con el valor de $p(a)$.

Fijémonos que la división especificada cumple las hipótesis de la técnica de Ruffini.

Calcular el resto de la división $\dfrac{p(x)}{q(x)}$, siendo $p(x)=x^4+3x^2-x+4$ y $q(x)=x+2$.

Aplicamos el teorema del resto. Nótese que en este caso $a=-2$. $$p(-2)=(-2)^4+3\cdot(-2)^2-(-2)+4=16+3\cdot4+2+4=34$$

Para comprobarlo utilizamos Ruffini:

	$1$	$0$	$3$	$-1$	$4$
$-2$		$-2$	$4$	$-14$	$30$
	$1$	$-2$	$7$	$-15$	$34$

Y efectivamente, coincide con la solución anterior.

Calcular el resto de la división $\dfrac{p(x)}{q(x)}$, siendo $p(x)=x^5-2x^2+x+3$ y $q(x)=x+1$.

Aplicamos el teorema del resto. Nótese que en este caso $a=-1$. $$p(-1)=(-1)^5-2\cdot(-1)^2+(-1)+3=-1-2-1+3=-1$$

Para comprobarlo utilizamos Ruffini:

	$1$	$0$	$0$	$-2$	$1$	$3$
$-1$		$-1$	$1$	$-1$	$3$	$-4$
	$1$	$-1$	$1$	$-3$	$4$	$-1$

Y efectivamente, coincide con la solución anterior.

Teorema del factor

Su enunciado es el siguiente:

Un polinomio $p(x)$ es divisible por otro de la forma $x-a$ si, y sólo si, $p(a)=0$. En este caso, diremos que $a$ es una raíz o cero del polinomio $p(x)$.

Calcular el resto de la división $\dfrac{p(x)}{q(x)}$, siendo $p(x)=x^5+2x^4-3x^3+x^2-1$ y $q(x)=x-1$.

Aplicamos el teorema del resto: $$p(1)=1^5+2\cdot1^4-3\cdot1^3+1^2-1=0$$

Comprobamos el resultado por Ruffini:

	$1$	$2$	$-3$	$1$	$0$	$-1$
$1$		$1$	$3$	$0$	$1$	$2$
	$1$	$3$	$0$	$1$	$1$	$0$

Efectivamente, el resto es $0$. Así pues, según el teorema del factor, la división de $p(x)$ por $q(x)$ es exacta.