Simplificació i amplificació de fraccions algebraiques

Simplificació de fraccions algebraiques

Donada una fracció algebraica, si el numerador i el denominador tenen algun factor en comú, aquest es pot simplificar. El resultat pot ser una fracció algebraica equivalent, o un polinomi.

Simplificar la següent fracció algebraica i concloure si és un polinomi o una fracció algebraica. $$\dfrac{x^2-1}{x^2-2x+1}$$ Factoritzats el numerador i el denominador:

$$x^2-1=(x+1)\cdot(x-1)$$

$$x^2-2x+1=(x-1)^2$$

Veiem que el numerador i el denominador tenen un factor comú, per tant:

$$\dfrac{x^2-1}{x^2-2x+1}=\dfrac{(x+1)(x-1)}{(x-1)^2}=\dfrac{x+1}{x-1}$$ I el resultat és una fracció algebraica.

Simplificar la següent fracció algebraica i concloure si és un polinomi o una fracció algebraica. $$\dfrac{x^2-4x+4}{x-2}$$ Factoritzats el numerador i el denominador:

$$x^2-4x+4=(x-2)^2$$

$$x-2$$

Veiem que el numerador i el denominador tenen un factor comú, per tant:

$$\dfrac{x^2-4x+4}{x-2}=\dfrac{(x-2)^2}{x-2}=x-2$$ I el resultat és un polinomi.

Amplificació de fraccions algebraiques

Com en una fracció, sempre podem multiplicar el numerador i el denominador per un polinomi qualsevol. Aquesta estratègia es diu amplificació o expansió i pot ser útil en algunes ocasions.

Expandir la següent fracció algebraica $\dfrac{x-1}{x+2}$ de tal manera que tingui un polinomi amb arrel $x=-1$ en el denominador.

Només cal multiplicar la fracció algebraica per l'expressió $x+1$ tant en el numerador com en el denominador: $$\dfrac{x-1}{x+2}=\dfrac{x-1}{x+2}\cdot\dfrac{x+1}{x+1}$$ Ara si es vol es poden expandir els polinomis: $$\dfrac{x-1}{x+2}\cdot\dfrac{x+1}{x+1}=\dfrac{(x-1)(x+1)}{(x+2)(x+1)}=\dfrac{x^2-1}{x\cdot(x+1)+2\cdot(x+1)}=$$

$$=\dfrac{x^2-1}{x^2+3x+2}$$ El resultat és una fracció algebraica equivalent a la inicial.

Expandir la següent fracció algebraica $\dfrac{x+2}{x-2}$ del tal manera que tingui un polinomi amb arrel $x=3$ en el denominador.

Només cal multiplicar la fracció algebraica per l'expressió $x-3$ tant en el numerador com en el denominador: $$\dfrac{x+2}{x-2}=\dfrac{x+2}{x-2}\cdot\dfrac{x-3}{x-3}$$ Ara si es vol es poden expandir els polinomis: $$\dfrac{x+2}{x-2}\cdot\dfrac{x-3}{x-3}=\dfrac{(x+2)(x-3)}{(x-2)(x-3)}=\dfrac{x\cdot(x-3)+2\cdot(x-3) }{x\cdot(x-3)-2\cdot(x-3)}=$$

$$=\dfrac{x^2-x-6}{x^2-5x+6}$$ El resultat és una fracció algebraica equivalent a la inicial.