Regla de Ruffini

Per calcular el quocient de dos polinomis s'utilitza un procediment que requereix molts càlculs intermedis. Una regla que ens pot ajudar a simplificar és la regla de Ruffini. Aquesta regla només serà vàlida quan el divisor és un polinomi de la forma $x-a$, sent $a$ un nombre real.

Utilitzarem un exemple per explicar la metodologia:

Realitzar la divisió $\dfrac{p(x)}{q(x)}$, sent $p(x)=x^4-3x^2+x+5$ i $q(x)=x+2$.

1. Completar i ordenar el polinomi dividend.

Escriure el polinomi divisor de la forma $x-a$, si cal.

En el nostre cas:

$$p(x)=x^4+0x^3-3x^2+x+5$$

$$q(x)=x-(-2)$$

Fixem-nos que en aquest exemple el valor de $a=-2$.

2. Posem els elements en una taula com la següent.

	$1$	$0$	$-3$	$1$	$5$
$-2$

A la fila superior, situem els coeficients del polinomi (ordenat i completat!) $p(x)$.

A la casella esquerra, situem el valor de $a$.

3. Baixem el primer coeficient, i el multipliquem pel valor de $a$. El resultat, el posem a sota del segon coeficient:

	$1$	$0$	$-3$	$1$	$5$
$-2$		$1\cdot(-2)=-2$
	$1$

4. Sumem la segona columna i baixem el resultat obtingut, repetint el procés fins a l'última columna:

	$1$	$0$	$-3$	$1$	$5$
$-2$		$1\cdot(-2)=-2$	$(-2)\cdot(-2)=4$	$1\cdot(-2)=-2$	$(-1)\cdot(-2)=2$
	$1$	$0+(-2)=-2$	$(-3)+4=1$	$1+(-2)=-1$	$5+2=7$

5. El dígit de la cantonada inferior dreta és el residu. La resta de dígits de l'última fila són els coeficients, ordenats, del polinomi quocient.

Així doncs, en el nostre cas:

quocient: $x^3-2x^2+x-1$

residu: $7$

Com veiem, es compleix la relació de graus:

$3=$grau$(x^3-2x^2+x-1)=$grau$(x^4-3x^2+x+5)-$grau$(x+2)=4-1=3$

grau$(7)=0 < 1 =$grau$(x+2)$

Realitzar la divisió $\dfrac{p(x)}{q(x)}$, sent $p(x)=x^5+2x^4-3x^3+x^2-1$ i $q(x)=x-1$.

1. $p(x)=x^5+2x^4-3x^3+x^2+0x-1$

$$q(x)=x-1$$

$a=1$.

2. 	$1$	$2$	$-3$	$1$	$0$	$-1$
   $1$

3. 	$1$	$2$	$-3$	$1$	$0$	$-1$
   $1$		$1$
   	$1$	$3$

4. 	$1$	$2$	$-3$	$1$	$0$	$-1$
   $1$		$1$	$3$	$0$	$1$	$1$
   	$1$	$3$	$0$	$1$	$1$	$0$

quocient: $x^4+3x^3+x+1$

residu: $0$

I es compleix:

$4=$grau$(x^4+3x^3+x+1)=$grau$(x^5+2x^4-3x^3+x^2-1)-$

$-$grau$(x-1)=5-1=4$

grau$(0)=0 < 1 =$grau$(x-1)$

En aquest exemple, la divisió entre els polinomis és exacta, atès que la resta és $0$.

Ara introduirem una mica més de dificultat en els exemples:

Realitzar la divisió $\dfrac{p(x)}{q(x)}$, sent $p(x)=-x^3+ax^2-x-3$ i $q(x)=x+1$, i imposar el valor del paràmetre $a$ perquè la divisió sigui exacta.

El procediment és el mateix, però haurem de realitzar les multiplicacions i sumes considerant una incògnita. Així, arribat al final, imposarem que la resta sigui $0$. Així doncs:

$$p(x)=-x^3+ax^2-x-3$$

$q(x)=x-(-1)$.

2,3,4)

	$-1$	$a$	$-1$	$-3$
$-1$		$1$	$-a-1$	$a+2$
	$-1$	$a+1$	$-a-2$	$a-1$

Perquè la divisió sigui exacta:

$$a-1=0 \Rightarrow a=1$$

El polinomi quocient és:

quocient: $-x^2+2x-3$

residu: $0$