Regla de Ruffini

Para calcular el cociente de dos polinomios se utiliza un procedimiento que requiere muchos cálculos intermedios. Una regla que nos puede ayudar a simplificarlos es la regla de Ruffini. Esta regla sólo será válida cuando el divisor sea un polinomio de la forma $x-a$, siendo $a$ un número real.

Utilizaremos un ejemplo para explicar la metodología:

Realizar la división $\dfrac{p(x)}{q(x)}$, siendo $p(x)=x^4-3x^2+x+5$ y $q(x)=x+2$.

1. Completar y ordenar el polinomio dividendo.

Escribir el polinomio divisor de la forma $x-a$, si es necesario.

En nuestro caso:

$$p(x)=x^4+0x^3-3x^2+x+5$$

$$q(x)=x-(-2)$$

Fijémonos que en este ejemplo el valor de $a=-2$.

2. Ponemos los elementos en una tabla como la siguiente.

	$1$	$0$	$-3$	$1$	$5$
$-2$

En la fila superior, situamos los coeficientes del polinomio (ordenado y completado!) $p(x)$.

En la casilla izquierda, situamos el valor de $a$.

3. Bajamos el primer coeficiente, y lo multiplicamos por el valor de $a$. El resultado, lo ponemos justo debajo del segundo coeficiente:

	$1$	$0$	$-3$	$1$	$5$
$-2$		$1\cdot(-2)=-2$
	$1$

4. Sumamos la segunda columna y bajamos el resultado obtenido, repitiendo el proceso hasta la última columna:

	$1$	$0$	$-3$	$1$	$5$
$-2$		$1\cdot(-2)=-2$	$(-2)\cdot(-2)=4$	$1\cdot(-2)=-2$	$(-1)\cdot(-2)=2$
	$1$	$0+(-2)=-2$	$(-3)+4=1$	$1+(-2)=-1$	$5+2=7$

5. El dígito de la esquina inferior derecha es el residuo. El resto de dígitos de la última fila son los coeficientes, ordenados, del polinomio cociente.

Así pues, en nuestro caso:

cociente: $x^3-2x^2+x-1$

resto: $7$

Como vemos, se cumple la relación de grados:

$3=$grado$(x^3-2x^2+x-1)=$grado$(x^4-3x^2+x+5)-$grado$(x+2)=4-1=3$

grado$(7)=0 < 1 =$grado$(x+2)$

Realizar la división $\dfrac{p(x)}{q(x)}$, siendo $p(x)=x^5+2x^4-3x^3+x^2-1$ y $q(x)=x-1$.

1. $p(x)=x^5+2x^4-3x^3+x^2+0x-1$

$$q(x)=x-1$$

$a=1$.

2. 	$1$	$2$	$-3$	$1$	$0$	$-1$
   $1$

3. 	$1$	$2$	$-3$	$1$	$0$	$-1$
   $1$		$1$
   	$1$	$3$

4. 	$1$	$2$	$-3$	$1$	$0$	$-1$
   $1$		$1$	$3$	$0$	$1$	$1$
   	$1$	$3$	$0$	$1$	$1$	$0$

cociente: $x^4+3x^3+x+1$

resto: $0$

Y se cumple:

$4=$grado$(x^4+3x^3+x+1)=$grado$(x^5+2x^4-3x^3+x^2-1)-$

$-$grado$(x-1)=5-1=4$

grado$(0)=0 < 1 =$grado$(x-1)$

En este ejemplo, la división entre los polinomios es exacta, dado que el resto es $0$.

Ahora introduciremos un poco más de dificultad en los ejemplos:

Realizar la división $\dfrac{p(x)}{q(x)}$, siendo $p(x)=-x^3+ax^2-x-3$ y $q(x)=x+1$, e imponer el valor del parámetro $a$ para que la división sea exacta.

El procedimiento es el mismo, pero deberemos realizar las multiplicaciones y sumas considerando a una incógnita. Así, llegado al final, impondremos que el resto sea $0$. Así pues:

$$p(x)=-x^3+ax^2-x-3$$

$q(x)=x-(-1)$.

2,3,4)

	$-1$	$a$	$-1$	$-3$
$-1$		$1$	$-a-1$	$a+2$
	$-1$	$a+1$	$-a-2$	$a-1$

Para que la división sea exacta:

$$a-1=0 \Rightarrow a=1$$

Por el polinomio cociente resulta:

cociente: $-x^2+2x-3$

resto: $0$