Problemes d'aplicació de polinomis i fraccions algebraiques
Trobar una fracció equivalent a $\dfrac{7}{13}$ els termes de la qual elevats al quadrat sumin $5450$.
Primer, hem d'identificar les incògnites i atribuir una variable. En el nostre cas, per exemple, $x$ podria ser el numerador de la fracció que busquem, i $y$ el denominador. D'aquesta manera, el sistema que hem de plantejar és: $$\dfrac{7}{13}=\dfrac{x}{y}$$ $$x^2+y^2=5450$$
El sistema consta d'un polinomi i una fracció algebraica. Aïllar una variable de la fracció algebraica i la substituirem en la segona equació:
$$x=\dfrac{7}{13}y \Rightarrow \Big(\dfrac{7}{13}y\Big)^2+y^2=5450$$
Desenvolupem l'expressió fins aïllar la variable $y$:
$$\Big(\dfrac{7}{13}y\Big)^2+y^2=5450 \Leftrightarrow \dfrac{49}{169}y^2+y^2=5450 \Leftrightarrow \dfrac{218}{169}y^2=5450 \Leftrightarrow$$ $$\Leftrightarrow y=\sqrt{\dfrac{5450\cdot169}{218}}=\sqrt{4225} \Leftrightarrow y=\pm65$$
Referent a la $x$, aleshores: $$x=\dfrac{7}{13}y=\dfrac{7}{13}\cdot(\pm65)=\pm35$$
Per tant, les possibles fraccions equivalents seran $\dfrac{35}{65}$ i $\dfrac{-35}{-65}=\dfrac{35}{65}$