Problemas de aplicación de polinomios y fracciones algebraicas
Encontrar una fracción equivalente a $\dfrac{7}{13}$ cuyos términos elevados al cuadrado sumen $5450$.
Primero, debemos identificar las incógnitas y atribuirles una variable. En nuestro caso, por ejemplo, $x$ podría ser el numerador de la fracción que buscamos, e $y$ el denominador. De esta manera, el sistema que debemos plantear resulta: $$\dfrac{7}{13}=\dfrac{x}{y}$$ $$x^2+y^2=5450$$
El sistema consta de un polinomio y una fracción algebraica. Aislaremos una variable de la fracción algebraica y la sustituiremos en la segunda ecuación:
$$x=\dfrac{7}{13}y \Rightarrow \Big(\dfrac{7}{13}y\Big)^2+y^2=5450$$
Desarrollamos la expresión hasta asilar la variable $y$:
$$\Big(\dfrac{7}{13}y\Big)^2+y^2=5450 \Leftrightarrow \dfrac{49}{169}y^2+y^2=5450 \Leftrightarrow \dfrac{218}{169}y^2=5450 \Leftrightarrow$$ $$\Leftrightarrow y=\sqrt{\dfrac{5450\cdot169}{218}}=\sqrt{4225} \Leftrightarrow y=\pm65$$
Referente a la $x$, entonces: $$x=\dfrac{7}{13}y=\dfrac{7}{13}\cdot(\pm65)=\pm35$$
Por lo tanto, las posibles fracciones equivalentes serán $\dfrac{35}{65}$ y $\dfrac{-35}{-65}=\dfrac{35}{65}$