Definició i classificació de polinomis
Quan multipliquem un nombre (coeficient) per una incògnita (variable), resulta un monomi. Ara bé, què passaria si en comptes de multiplicar els suméssim?
$$x^6+10$$ $$x+1$$
Què passa quan sumem monomis que no són semblants? I si els restem?
Quan unim monomis no semblants mitjançant sumes i / o restes obtenim un polinomi.
$$2x^2+x-1$$ Que és el resultat de sumar els monomis $2x^2$ i $x$, i restar el monomi $1$.
O també $$3x^5-x^2+x-5$$ Que és el resultat de sumar els monomis $3x^5$ i $x$, i restar els monomis $x^2$ i $5$.
En matemàtiques, per nomenar polinomis s'utilitza una lletra seguida d'un parèntesi amb la variable (o les variables, separades per comes) del polinomi. Així doncs, els exemples anteriors serien:
$p(x)=2x^2+x-1$ i $q(x)=3x^5-x^2+x-5$
Si hi hagués més d'una variable, com hem dit:
$$p(x,y)=x^6y+xy-x$$
$$q(x,y,z)=xyz^2+xyz-xy^3z-zyz+zy-z$$
$$r(x,y,z,t)=xyzt$$
Cal anar amb compte en la manera de representar els polinomis, ja que podríem cometre errors de notació.
$q(x,y)=3x^2y+4x$, $q(x)=3x^2y+4x$
En el primer polinomi, "$y$" actua com a variable. En canvi, en el segon, la "$y$" és un coeficient (que té de valor $y$, un nombre que no coneixem a priori).
Per això, són dos polinomis diferents (per exemple, el primer és de grau $3$ i el segon de grau $2$).
A partir d'aquí, i utilitzant com a exemple el polinomi $p(x)=2x^2+x-1$, definim les següents característiques d'un polinomi:
Variable / s del polinomi: incògnita o incògnites que trobem al polinomi. Al polinomi $p(x), x$.
Grau del polinomi: és l'exponent més gran de tots els monomis que té el polinomi. En el nostre exemple, $max\{2,1,0\}=2$
Coeficient principal: és el coeficient del monomi d'exponent el grau del polinomi. En el nostre cas, $2$.
Terme independent: el coeficient del monomi d'exponent nul. Si no existeix aquest monomi, és igual a $0$. En el nostre cas, és $-1$.
Classificació de polinomis
Podem classificar els polinomis segons les seves característiques.
Classificació de polinomis segons el seu grau
- Grau zero: Són coeficients. $$q(x)=-1$$ $$q(x)=\dfrac{1}{2}$$
- Primer grau: $$q(x)=x-1$$ $$q(y)=3y-\dfrac{3}{4}$$ $$p(y)=\dfrac{y}{2}+\dfrac{1}{4}$$
- Segon grau: $$p(z)=z^2+3z-9$$ $$p(x)=\dfrac{x^2}{3}+2x$$ $$q(z)=z^2-\dfrac{10}{3}$$
- Tercer grau: $$r(t)=t^3+t^2+1$$ $$p(t)=\dfrac{t^3}{4}+\dfrac{t^2}{2}-t+10$$ $$q(x)=x^3-\dfrac{1}{4}$$
I podríem seguir fins al número que volguéssim.
Classificació de polinomis segons els seus coeficients
- Polinomi complet: té tots els coeficients diferents de zero. $$p(x)=x^3+x^2+x+1$$ $$p(x,y)=2x^2+y^2-xy+x+y-\dfrac{1}{3}$$ $$r(t)=t^2-4t+9$$
- Polinomi incomplet: té algún coeficient igual a zero. $$p(x)=x^3+x+1$$ $$p(x,y)=2x^2+y^2+x+y-\dfrac{1}{3}$$ $$r(t)=t^2-4t$$
- Polinomi nul: té tots els coeficients iguals a zero. $$p(x)=0$$
Classificació de polinomis segons els graus dels seus monomis
- Polinomi ordenat: els monomis apareixen escrits de major a menor grau. $$p(x)=x^4+x^3+x^2+x+1$$ $$q(x)=x^6+x^4+x^2+x+1$$ $$r(x)=x^{100}+x^2+2x$$
- Polinomi homogeni: tots els seus monomis tenen el mateix grau. $$p(x)=2x$$ $$p(x,y)=3x^2y+4x^3+2xy^2$$ $$p(x,y)=\dfrac{xy}{2}+x^2+y^2$$
- Polinomi heterogeni: no tots els seus monomis tenen el mateix grau. $$p(x)=2x-1$$ $$p(x,y)=3x^2y+4x^3+2xy^2$$ $$p(x,y)=\dfrac{xy}{2}+x^2y+y^2$$
- Polinomis iguals. Són aquells que compleixen:
- Tenen el mateix grau.
- Els coeficients dels monomis de mateix grau són iguals. $$p(x)=3x^2+1$$ $$q(x)=1+3x^2$$ $$p(x,y)=xy+4x-1$$ $$q(y,x)=-1+4x+yx$$