Definición y clasificación de polinomios

Cuando multiplicamos un número (coeficiente) por una incógnita (variable), resulta un monomio. Ahora bien, ¿qué pasaría si en vez de multiplicar los sumásemos?

$$x^6+10$$ $$x+1$$

¿Qué pasa cuando sumamos monomios que no son semejantes? ¿Y si los restamos?

Cuando unimos monomios no semejantes mediante sumas y/o restas obtenemos un polinomio.

$$2x^2+x-1$$ que es el resultado de sumar los monomios $2x^2$ y $x$, y restar el monomio $1$.

O también $$3x^5-x^2+x-5$$ que es el resultado de sumar los monomios $3x^5$ y $x$, y restar los monomios $x^2$ y $5$.

En matemáticas, para nombrar polinomios se utiliza una letra seguida de un paréntesis con la variable (o las variables, separadas por comas) del polinomio. Así pues, los ejemplos anteriores serían:

$p(x)=2x^2+x-1$ i $q(x)=3x^5-x^2+x-5$

Si hubiera más de una variable, como hemos dicho:

$$p(x,y)=x^6y+xy-x$$

$$q(x,y,z)=xyz^2+xyz-xy^3z-zyz+zy-z$$

$$r(x,y,z,t)=xyzt$$

Se debe ir con cuidado en la manera de representar los polinomios, ya que podríamos cometer errores de notación.

$q(x,y)=3x^2y+4x$, $q(x)=3x^2y+4x$

En el primer polinomio, "$y$" actúa como variable. En cambio, en el segundo, la "$y$" es un coeficiente (que tiene de valor $y$, un número que no conocemos a priori).

Por eso, son dos polinomios diferentes (por ejemplo, el primero es de grado $3$ y el segundo de grado $2$).

A partir de aquí, y utilizando como ejemplo el polinomio $p(x)=2x^2+x-1$, definimos las siguiente características de un polinomio:

• variable/s del polinomio: incógnita o incógnitas que encontramos en el polinomio. En el polinomio $p(x), x$.

• grado del polinomio: es el exponente mayor de todos los monomios que tiene el polinomio. En nuestro ejemplo, $max\{2,1,0\}=2$

• coeficiente principal: es el coeficiente del monomio de exponente el grado del polinomio. En nuestro caso, $2$.

• término independiente: es el coeficiente del monomio de exponente nulo. Si no existe dicho monomio, es igual a $0$. En nuestro caso, es $-1$.

Clasificación de polinomios

Podemos clasificar los polinomios según sus características.

Clasificación de polinomios según su grado

• Grado cero: Son coeficientes. $$q(x)=-1$$ $$q(x)=\dfrac{1}{2}$$
• Primer grado: $$q(x)=x-1$$ $$q(y)=3y-\dfrac{3}{4}$$ $$p(y)=\dfrac{y}{2}+\dfrac{1}{4}$$
• Segundo grado: $$p(z)=z^2+3z-9$$ $$p(x)=\dfrac{x^2}{3}+2x$$ $$q(z)=z^2-\dfrac{10}{3}$$
• Tercer grado: $$r(t)=t^3+t^2+1$$ $$p(t)=\dfrac{t^3}{4}+\dfrac{t^2}{2}-t+10$$ $$q(x)=x^3-\dfrac{1}{4}$$

Y podríamos seguir hasta el número que nos gustase.

Clasificación de polinomios según sus coeficientes

• Polinomio completo: tiene todos los coeficientes diferentes de cero. $$p(x)=x^3+x^2+x+1$$ $$p(x,y)=2x^2+y^2-xy+x+y-\dfrac{1}{3}$$ $$r(t)=t^2-4t+9$$
• Polinomio incompleto: tiene algún coeficiente igual a cero. $$p(x)=x^3+x+1$$ $$p(x,y)=2x^2+y^2+x+y-\dfrac{1}{3}$$ $$r(t)=t^2-4t$$
• Polinomio nulo: tiene todos los coeficiente iguales a cero. $$p(x)=0$$

Clasificación de polinomios según los grados de sus monomios

• Polinomio ordenado: los monomios aparecen escritos de mayor a menor grado. $$p(x)=x^4+x^3+x^2+x+1$$ $$q(x)=x^6+x^4+x^2+x+1$$ $$r(x)=x^{100}+x^2+2x$$
• Polinomio homogéneo: todos sus monomios tienen el mismo grado. $$p(x)=2x$$ $$p(x,y)=3x^2y+4x^3+2xy^2$$ $$p(x,y)=\dfrac{xy}{2}+x^2+y^2$$
• Polinomio heterogéneo: no todos sus monomios tienen el mismo grado. $$p(x)=2x-1$$ $$p(x,y)=3x^2y+4x^3+2xy^2$$ $$p(x,y)=\dfrac{xy}{2}+x^2y+y^2$$
• Polinomios iguales. Son aquellos que cumplen:
  • Tienen el mismo grado.
  • Los coeficientes de los monomios de mismo grado son iguales. $$p(x)=3x^2+1$$ $$q(x)=1+3x^2$$ $$p(x,y)=xy+4x-1$$ $$q(y,x)=-1+4x+yx$$