Representació de nombres complexos en el pla

Ara que sabem treballar amb els nombres complexos i les operacions bàsiques de suma, resta, multiplicació i divisió, anem a introduir-nos en la representació d'aquests números en el pla complex. Per als nombres reals, dibuixàvem una recta i els anàvem posant ordenadament, és a dir:

Per representar gràficament un nombre complex, hem de dibuixar en el pla complex. Aquest està format per un eix real i un eix imaginari. Sobre l'eix real representarem la part real del nombre complex, mentre que en l'eix imaginari representarem la part imaginària. Aquests eixos els dibuixarem perpendiculars i secants en el zero, que té part real i imaginària nula.

Vegem un exemple del pla complex:

Un nombre complex $z$ en forma binòmica es representarà llavors en un pla complex com l'anterior de la següent manera:

Tenim el complex $z=a+bi$ on:

• $a$ és qualsevol nombre real i se l'anomena part real de $z$.
• $b$ és qualsevol nombre real i se l'anomena la part imaginària de $z$.

Així per a representar un $z=a+bi$ es dibuixa el pla del vector associat a $z$ que és el vector amb origen $(0,0)$ i extrem el punt $(a,b)$.

És a dir, es pren la part real del complex i es dibuixa en l'eix real. Es pren la part imaginària i es dibuixa en l'eix imaginari. Es tracen paral·leles als eixos que passen per cada un dels punts marcats i la intersecció d'aquestes paral·leles és el nombre que volíem representar.

Si volem representar l'imaginari $z=2-i$.

Primer hem de marcar en l'eix real el $2$.

Després hem de marcar en l'eix imaginari el $-i$.

Tracem dues rectes:

• Una paral·lela a l'eix real que passi pel punt $-i$.
• Una paral·lela a l'eix imaginari que passi pel punt $2$.

El punt intersecció d'aquestes dues rectes és el nombre $z$ que volíem dibuixar.

Gràficament és:

En definitiva el que estem fent és que a cada nombre complex que ve donat per la forma $z=a+bi$ li associem un vector en el pla que és exactament el vector $(a,b)$.

Per exemple, el complex $3+9i$ és l'associat al vector del pla $(3,9)$ i el complex $-5i$ és l'associat al vector $(0,-5)$.

Anteriorment hem dit que:

Es defineix el conjugat d'un nombre imaginari com el nombre $\bar{z}=a-ib$, en aquest cas, per representar prendrem el vector associat $(a,-b)$.

L'oposat d'un nombre imaginari és $z_{op}=-z=-a-bi$, que tindrà vector associat el $(-a,-b)$.

I l'invers d'un nombre complex és $z^{-1}=\dfrac{a}{a^2+b^2}-\dfrac{b}{a^2+b^2}i$ que tindrà vector associat el $\big(\dfrac{a}{a^2+b^2},-\dfrac{b}{a^2+b^2}\Big)$.

Si els dibuixem en el pla complex aquests queden: