Representación de números complejos en el plano

Ahora que sabemos trabajar con los números complejos y las operaciones básicas de suma, resta, multiplicación y división, vamos a introducirnos en la representación de dichos números en el plano complejo. Para los números reales, dibujábamos una recta y los íbamos colocando ordenadamente, es decir:

Para representar gráficamente un número complejo, debemos dibujarlos en el plano complejo. Éste está formado por un eje real y un eje imaginario. Sobre el eje real representaremos la parte real del número complejo, mientras que en el eje imaginario representaremos la parte imaginaria. Dichos ejes los dibujaremos perpendiculares y secantes en el cero, que tiene parte real e imaginaria nula.

Veamos un ejemplo del plano complejo:

Un número complejo $z$ en forma binómica se representará entonces en un plano complejo como el anterior de la siguiente forma:

Tenemos el complejo $z=a+bi$ donde:

• $a$ es cualquier número real, y se le llama parte real de $z$.
• $b$ es cualquier número real, y se le llama la parte imaginaria de $z$.

Así, para representar un $z=a+bi$ se dibuja en el plano el vector asociado a $z$ que es el vector con origen $(0,0)$ y extremo el punto $(a,b)$.

Es decir, se toma la parte real del complejo y se dibuja en el eje real. Se toma la parte imaginaria y se dibuja en el eje imaginario. Se trazan paralelas a los ejes que pasen por cada uno de los puntos marcados y la intersección de dichas paralelas es el número que queríamos representar.

Por ejemplo, si queremos representar el imaginario $z=2-i$.

Primero marcamos en el eje real el $2$.

Luego marcamos en el eje imaginario el $-i$.

Trazamos dos rectas:

• una paralela al eje real que pase por el punto $-i$.
• una paralela al eje imaginario que pase por el punto $2$.

El punto intersección de estas dos rectas es el número $z$ que queríamos dibujar.

Gráficamente es:

En definitiva lo que estamos haciendo es que a cada número complejo que viene dado por la forma $z=a+bi$ le asociamos un vector en el plano que es exactamente el vector $(a,b)$.

Por ejemplo, el complejo $3+9i$ es el asociado al vector del plano $(3,9)$ y el complejo $-5i$ es el asociado al vector $(0,-5)$.

Anteriormente hemos dicho que:

Se define el conjugado de un número imaginario como el número $\bar{z}=a-ib$, en este caso, para representarlo tomaremos el vector asociado $(a,-b)$.

El opuesto de un número imaginario es $z_{op}=-z=-a-bi$, que tendrá vector asociado el $(-a,-b)$.

Y el inverso de un número complejo es $z^{-1}=\dfrac{a}{a^2+b^2}-\dfrac{b}{a^2+b^2}i$ que tendrá vector asociado el $\big(\dfrac{a}{a^2+b^2},-\dfrac{b}{a^2+b^2}\Big)$.

Si los dibujamos en el plano complejo estos quedan: