Potencias de la unidad imaginaria

La unidad imaginaria $i$ se puede multiplicar por ella misma como cualquier número real, obteniéndose entonces lo que se llaman las potencias de la unidad imaginaria.

Así pues, se trabaja de la siguiente manera:

• por convenio se establece que $i^0=1$, como pasa con cualquier otro número real.
• para las cuatro primeras potencias se tiene:

$i^1=i$

$i^2=i\cdot i= \sqrt{-1}\cdot\sqrt{-1}=(\sqrt{-1})^2=-1$

$i^3=i^2\cdot i= (-1)\cdot i= -i$

$i^4=i^3\cdot i= (-i)\cdot i= -(i^2) =-(-1)=1$

Donde cada una de las potencias se obtiene multiplicando la anterior por $i$.

• las siguientes potencias se pueden calcular a partir de las anteriormente calculadas.Veamos como siguen:

$i^5=i^4\cdot i=1\cdot i=i=i^1$

$i^6=i^5\cdot i=i\cdot i=i^2$

$i^7=i^6\cdot i=i^2\cdot i=i^3$

$i^8=i^7\cdot i=i^3\cdot i=i^4$

Así pues, forman una sucesión periódica, pues los valores de las cuatro primeras potencias que son $ \ i,\; -1,\; -i,\; 1 \ $ se repiten indefinidamente. Esto es porque si se quiere la potencia enésima de la unidad imaginaria (es decir, se quiere calcular $i^n$), ésta coincide con la potencia de $i$ que tiene por exponente el resto de la división de $n$ entre $4$.

Es decir, $ i^n=i^{4q+r} \ $ donde $n=4q+r$ es la división euclídea común. Una vez tenemos esto, mediante las propiedades de las potencias podemos escribir: $$i^n=i^{4q+r}=i^{4q}\cdot i^r= (i^4)^q\cdot i^r$$ pero como hemos visto que $i^4=1$ entonces esto nos queda: $$ i^n=(i^4)^q\cdot i^r=(1)^q \cdot i^r=i^r$$

Así pues, basta que calculemos $i^r$ donde $r$ corresponde al resto de la división de $n$ entre $4$.

De manera que rápidamente se puede calcular $i^n=i^r$ qque siempre será una de las potencias anteriormente calculadas, dado que $r$ sólo puede ser $0$, $1$, $2$ o $3$.

Veamos algunos ejemplos:

$i^{347}$ parece una potencia muy difícil, pero si hacemos la división de $347$ entre $4$ obtenemos $347=4\cdot 86+3$ de manera que el resto es $3$. Por eso podemos escribir:

$$i^{347}=i^{4\cdot 86}\cdot i^3= i^3$$

Entonces miramos la tabla que hemos escrito anteriormente con las primero cuatro potencias de $i$ y observamos que $i^3=-i$. Por lo que nos quedará:

$$i^{347}=i^3=-i$$

¿Qué pasa en el caso de tener una potencia negativa?

Si queremos calcular $i^{-n}$ solo debemos escribirlo de la siguiente manera: $i^{-n}= \dfrac{1}{i^n}$. Entonces resolvemos el denominador como se ha explicado para potencias positivas de $i$ y luego se vuelve a escribir en el denominador.

Es decir, por ejemplo: $$i^{-89}=\dfrac{1}{i^{89}}$$

Por eso calcularemos primero $i^{89}$. Mediante el procedimiento anterior, si calculamos la división de $89$ entre $4$ obtenemos $89=4\cdot 22+1$, por lo que el resto es $1$. Así tenemos: $$i^{89}=i^{4\cdot 22}\cdot i^1=i$$

Una vez tenemos esto, reescribimos lo que estábamos buscando y obtenemos: $$i^{-89}=\dfrac{1}{i^{89}}=\dfrac{1}{i}$$

Si preferimos que la unidad imaginaria quede en el numerador, podemos hacer como siempre que queremos hacer desaparecerla del denominador, es decir multiplicar y dividir por su conjugado. Esto es: $$\dfrac{1}{i}\cdot\dfrac{-i}{-i} = \dfrac{-i}{i\cdot(-i)}= \dfrac{-i}{-i^2}= \dfrac{-i}{-(-1)}=-i $$