Operacions amb complexos en forma binòmica

1. $(3+2i)+(8-2i)=(3+8)+(2+(-2))i=11+0i=11$

Hem sumat les parts reals $(3 +8)$ i hem sumat les parts imaginàries $(2 + (-2))$ que ens dóna zero i per tant la solució és un nombre imaginari amb part imaginària nul·la, o sigui un real.

2. $(3+2i)-(8-2i)=(3-8)+(2-(-2))i=-5+(2+2)i=-5+4i$

Hem restat les parts reals $(3-8)$ i hem restat les parts imaginàries $(2 - (-2))$ que ens dóna $4$ i per tant la solució és la part real més la part imaginària.

1. Amb la fórmula del producte de nombres complexos en forma binòmica es té: $$\displaystyle \begin{array}{rl} (3-6i)\cdot(1+2i) &= (3\cdot 1+6\cdot2) +(3\cdot2-6\cdot1)i= (3+12)+(6-6)i \\ & =15+0i= 15 \end{array} $$
2. Primer farem el producte dels dos primers números complexos i després amb el resultat farem el producte amb el tercer.

$(2+i)\cdot(2+3i)= (2\cdot2-3\cdot1)+(2\cdot3+1\cdot2)i=1+8i$

$ \displaystyle \begin{array}{rl} (1+8i)\cdot(4-6i)=&(1\cdot4-8\cdot(-6))+(8\cdot4+1\cdot(-6))\cdot i =\ =&4+48+(32-6)\cdot i=52+26i \end{array}$

1. $$\displaystyle z=1-4i \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} \bar{z}=1-(-4)i=1+4i \\ -z=-(1-4i)=-1+4i \end{array} \right. $$

El primer correspon al conjugat i el segon al oposat. $$\displaystyle z=-9-5i \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} \bar{z}=-9-(-5)i=-9+5i \\ -z=-(-9-5i)=9+5i \end{array} \right. $$

El mateix que en l'anterior, el primer és el conjugat i el segon l'oposat.

2. Ara, multiplicant pel conjugat de $2 + 3i$ que és $2-3i$ tenim: $$\dfrac{-11+29i}{2+3i}=\dfrac{-11+29i}{2+3i}\cdot \dfrac{2-3i}{2-3i}$$ Realitzem els productes de denominador i també del numerador: $$\dfrac{-11+29i}{2+3i}\cdot \dfrac{2-3i}{2-3i}=\dfrac{(-11\cdot2-29\cdot3)+(-11\cdot3+29\cdot2)i}{2^2+3^2}$$ Ajuntant termes i sumant ens queda: $$\dfrac{(-11\cdot2-29\cdot3)+(-11\cdot3+29\cdot2)i}{2^2+3^2}=\dfrac{65+91i}{4+9}$$ Si separem la fracció en dos termes obtenim: $$\dfrac{-11+29i}{2+3i}=\dfrac{65}{13}+\dfrac{91}{13}i$$ que simplificant queda: $$\dfrac{-11+29i}{2+3i}=\dfrac{65}{13}+\dfrac{91}{13}i=5+7i$$