Operaciones con complejos en forma binómica

1. $(3+2i)+(8-2i)=(3+8)+(2+(-2))i=11+0i=11$

Hemos sumado las partes reales $(3 +8)$ y hemos sumado las partes imaginarias $(2 + (-2))$ que nos da cero y por lo tanto la solución es un número imaginario con parte imaginaria nula, o sea un real.

2. $(3+2i)-(8-2i)=(3-8)+(2-(-2))i=-5+(2+2)i=-5+4i$

Hemos restado las partes reales $(3-8)$ y hemos restado las partes imaginarias $(2 - (-2))$ que nos da $4$ y por lo tanto la solución es la parte real mas la parte imaginaria.

1. Con la fórmula del producto de números complejos en forma binómica se tiene: $$\displaystyle \begin{array}{rl} (3-6i)\cdot(1+2i) &= (3\cdot 1+6\cdot2) +(3\cdot2-6\cdot1)i= (3+12)+(6-6)i \\ & =15+0i= 15 \end{array} $$
2. Primero haremos el producto de los dos primeros números complejos y luego con el resultado haremos el producto con el tercero.

$(2+i)\cdot(2+3i)= (2\cdot2-3\cdot1)+(2\cdot3+1\cdot2)i=1+8i$

$ \displaystyle \begin{array}{rl} (1+8i)\cdot(4-6i)=&(1\cdot4-8\cdot(-6))+(8\cdot4+1\cdot(-6))\cdot y =\ =&4+48+(32-6)\cdot i=52+26i \end{array}$

1. $$\displaystyle z=1-4i \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} \bar{z}=1-(-4)i=1+4i \\ -z=-(1-4i)=-1+4i \end{array} \right. $$

El primero corresponde al conjugado y el segundo al opuesto. $$\displaystyle z=-9-5i \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} \bar{z}=-9-(-5)i=-9+5i \\ -z=-(-9-5i)=9+5i \end{array} \right. $$

Lo mismo que en el anterior, el primero es el conjugado y el segundo el opuesto.

2. Ahora, multiplicando por el conjugado de $2 + 3i$ que es $2-3i$ tenemos: $$\dfrac{-11+29i}{2+3i}=\dfrac{-11+29i}{2+3i}\cdot \dfrac{2-3i}{2-3i}$$ Realizamos los productos de denominador y también del numerador: $$\dfrac{-11+29i}{2+3i}\cdot \dfrac{2-3i}{2-3i}=\dfrac{(-11\cdot2-29\cdot3)+(-11\cdot3+29\cdot2)i}{2^2+3^2}$$ Juntando términos y sumando nos queda: $$\dfrac{(-11\cdot2-29\cdot3)+(-11\cdot3+29\cdot2)i}{2^2+3^2}=\dfrac{65+91i}{4+9}$$ Si separamos la fracción en dos términos obtenemos: $$\dfrac{-11+29i}{2+3i}=\dfrac{65}{13}+\dfrac{91}{13}i$$ que simplificando queda: $$\dfrac{-11+29i}{2+3i}=\dfrac{65}{13}+\dfrac{91}{13}i=5+7i$$