Nombres complexos en forma polar: mòdul i argument

Ja sabem treballar amb la forma binòmica dels nombres complexos i sabem els passos a seguir per representar-los en el pla complex.

El que fèiem era adjudicar un vector a cada nombre complex, que determinàvem segons les seves parts real i imaginària. Així doncs, en el fons estàvem representant vectors en el pla.

Però els vectors en el pla poden ser entesos també com una longitud i un angle que els separa de l'eix horitzontal. Per això, els nombres imaginaris també es poden entendre com una longitud (que serà el mòdul) i un angle. Vegem com es construeix.

Per a representar un nombre complex $z$ en forma polar s'han de considerar el mòdul i l'argument d'aquest. El mòdul es refereix a la longitud del vector que el representa en el pla i l'argument es refereix a l'angle que forma amb l'eix horitzontal.

És a dir, gràficament seria:

Així, representarem un nombre complex mitjançant un mòdul i un argument que escriurem de la forma $z=|z|_{\alpha}$ on:

• a $|z|$ se l'anomena mòdul i és l'arrel quadrada de la suma dels quadrats de la component real i la component imaginària. Se sol escriure $|z|$ o $r$ i es pot pensar com la distància des de l'origen fins al nombre complex $z$ si el tenim representat en el pla complex. Així doncs, es té: $$ |z|=|a+bi|=\sqrt{a^2+b^2}$$
• a $\alpha$ se l'anomena l'argument del nombre complex $z$ i és l'angle que forma el nombre complex $z$ amb l'eix real (en sentit positiu) si ho tenim representat en el pla complex. Així doncs, es té: $$\alpha=\arctan(\dfrac{b}{a})$$

Es té llavors que l'argument d'un nombre complex no és únic, ja que l'expressió $\alpha=\arctan(\frac{b}{a})$ no determina unívocament l'argument d'un nombre, ja que hi ha infinits angles que compleixen la igualtat.

Ara bé, si restringim el valor de $\alpha$ per $0\leqslant\alpha< 2\pi$, només hi haurà dos angles que difereixen en $\pi$ i tenen la mateixa tangent. Per saber quin d'ells és l'argument, tindrem en compte els signes de $a$ i $b$, d'aquesta manera aconseguirem saber en quin quadrant està situat el vector del nombre complex i ens donarà l'angle que busquem.

• Si la part real i la imaginària són positives, el complex es troba al primer quadrant.

Per exemple $5+9i$.

• Si la part real és negativa i la imaginària és positiva, el complex es troba en el segon quadrant.

Per exemple $-5+9i$.

• Si la part real i la imaginària són negatives, el complex es troba al tercer quadrant.

Per exemple $-5-9i$.

• Si la part real és positiva i la imaginària és negativa, el complex es troba en el quart quadrant.

Per exemple $5-9i$.

Calculem el mòdul i argument del nombre $z=4+4\sqrt{3}i$.

El complex $4+4\sqrt{3}i$ té per mòdul: $$|4+4\sqrt{3}i|=\sqrt{4^2+(4\sqrt{3})^2}=\sqrt{16+16\cdot3}=\sqrt{16+48}= \sqrt{64}=8$$

I l'argument és: $$\alpha=\arctan\Big(\dfrac{4\sqrt{3}}{4}\Big) =\arctan(\sqrt{3})=60^{\circ}$$

perquè tant la part real com la imaginària són positives i per tant el complex viu al primer quadrant.

De manera que aquest complex en forma polar és: $$ z=|z|_{\alpha}=8_{60^{\circ}}$$

Aquesta manera de treballar ens permet passar d'un nombre complex expressat en forma binòmica a un nombre complex expressat en forma polar.